cover.png#代数结构与数理逻辑学习笔记13.5

除特别说明外，本篇默认：

• 域都是含幺交换域
• \(F \subseteq K\) 表示 \(K\) 是 \(F\) 的扩域
• \(F^\times = F \setminus \{0\}\)
• 有限域也称伽罗瓦域，记为 \(GF(q)\) 或 \(\mathbb{F}_q\)

有些方程在原来的域里没有根，于是把域扩大；扩大以后又希望仍然保持加法、乘法、逆元这些结构

比如：

• \(x^2-2=0\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中无解，但在 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\) 中有解
• \(x^2+1=0\) 在 \(\mathbb{R}\) 中无解，但在 \(\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)\) 中有解

定义 13.5.1 域、子域与扩域

域 \(F\) 可以看成两个交换群与一条分配律合在一起：

• \((F,+)\) 是交换群
• \((F^\times,\cdot)\) 是交换群
• 乘法对加法满足分配律

若 \(F' \subseteq F\)，且 \(F'\) 在 \(F\) 原有的加法、乘法下也构成域，则称 \(F'\) 是 \(F\) 的子域，也称 \(F\) 是 \(F'\) 的扩域

例子：

• \(\mathbb{Q}\) 是 \(\mathbb{R}\) 的子域，\(\mathbb{R}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的扩域
• \(\mathbb{R}\) 是 \(\mathbb{C}\) 的子域，\(\mathbb{C}\) 是 \(\mathbb{R}\) 的扩域
• \(\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的子环，但不是 \(\mathbb{Q}\) 的子域，因为非零整数的逆元通常不在 \(\mathbb{Z}\) 中

定理 13.5.1 扩域是向量空间

若 \(K\) 是 \(F\) 的扩域，则 \(K\) 可以自然看成 \(F\) 上的向量空间

具体地，向量加法就是 \(K\) 自己的加法，数乘定义为 \[ \lambda \cdot k \] 其中 \(\lambda \in F,\ k \in K\)，右侧乘法就是 \(K\) 中的乘法

于是可以定义：

\[ [K:F]=\dim_F K \]

称为 \(K\) 关于 \(F\) 的扩张次数

若 \([K:F]<\infty\)，则称 \(K/F\) 是有限扩张；否则称为无限扩张

证明： 点击查看证明

因为 \(K\) 本身是域，所以 \((K,+)\) 是交换群

又因为 \(F \subseteq K\)，所以 \(F\) 中元素可以和 \(K\) 中元素相乘

对任意 \(\lambda,\mu \in F\) 与 \(k,l \in K\)，有：

\[ 1_F k = k \]

\[ \lambda(k+l)=\lambda k+\lambda l \]

\[ (\lambda+\mu)k=\lambda k+\mu k \]

\[ (\lambda\mu)k=\lambda(\mu k) \]

所以 \(K\) 是 \(F\) 上的向量空间

例子：

\[ \mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{R}\} \]

所以 \(\{1,i\}\) 是 \(\mathbb{C}\) 作为 \(\mathbb{R}\)-向量空间的一组基，故 \([\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2\)

再看有限域的例子。因为 \(x^2+1\) 在 \(\mathbb{Z}_3[x]\) 中没有根： \[ 0^2+1=1,\quad 1^2+1=2,\quad 2^2+1=5\equiv 2 \pmod 3 \]

所以它在 \(\mathbb{Z}_3[x]\) 中不可约。由商环构造可得 \(\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1)\)是一个域，其元素可唯一写成 \(a+bx,\qquad a,b\in \mathbb{Z}_3\)

因此它有 \(3^2=9\) 个元素，并且 \[ [\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1):\mathbb{Z}_3]=2 \]

不可约多项式生成的商域，正好给出一个有限维扩域

定理 13.5.2 不可约多项式给出的扩张次数

设 \(F\) 是域，\(p(x)\in F[x]\) 不可约，且 \(\deg p(x)=n\)

令 \(K=F[x]/(p(x))\) 则 \(K\) 是 \(F\) 的扩域，并且 \[ [K:F]=n \]

更具体地，\(K\) 中每个元素都可唯一写成 \[ a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1},\qquad a_i\in F \] 这里省略了模 \((p(x))\) 的记号

证明： 点击查看证明

因为 \(F[x]\) 是主理想整环，且 \(p(x)\) 不可约，所以 \((p(x))\) 是极大理想

因此 \(F[x]/(p(x))\) 是域

由带余除法，任意 \(f(x)\in F[x]\) 都可唯一写成 \[ f(x)=q(x)p(x)+r(x),\qquad \deg r<n \]

所以在商域中，每个陪集都有唯一代表元 \[ r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} \]

于是 \(1,x,\dots,x^{n-1}\) 张成 \(K\)

若 \(a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}=0\) 在商域中成立，则该多项式属于 \((p(x))\)。但它次数小于 \(p(x)\)，只能是零多项式。

故这 \(n\) 个元素线性无关，构成 \(F\) 上一组基，得到 \[ [K:F]=n \]

定理 13.5.3 扩张次数乘法公式

若 \(F\subseteq K\subseteq L\) 且 \(L/K\)、\(K/F\) 都是有限扩张，则 \[ [L:F]=[L:K][K:F] \]

这就是向量空间基相乘的结果

例子：\(K=\mathbb{Q}[x]/(x^3-2)\)

因为 \(x^3-2\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约，故 \([K:\mathbb{Q}]=3\)

若存在中间域 \(\mathbb{Q}\subsetneq E\subsetneq K\)

则 \(3=[K:E][E:\mathbb{Q}]\)

右侧必须分解成两个大于 \(1\) 的整数乘积，这不可能。所以此时没有真正的中间域

相反，设 \[ L=\{a+b\sqrt3+c\sqrt2+d\sqrt6\mid a,b,c,d\in \mathbb{Q}\} \]

则 \(\{1,\sqrt3,\sqrt2,\sqrt6\}\) 是 \(L/\mathbb{Q}\) 的一组基，所以 \([L:\mathbb{Q}]=4\)

可以取中间域 \[ K=\mathbb{Q}(\sqrt3) \] 并写成 \(L=K(\sqrt2)\)

于是 \[ [L:\mathbb{Q}]=[L:K][K:\mathbb{Q}]=2\cdot 2 \]

定义 13.5.2 单扩域与素域

设 \(K/F\) 是扩域，\(\alpha\in K\)

包含 \(F\) 与 \(\alpha\) 的最小子域记为 \(F(\alpha)\)

称为在 \(F\) 上添加 \(\alpha\) 得到的域，或称 \(\alpha\) 在 \(F\) 上生成的单扩域

从定义看，\(F(\alpha)\) 就是 \(K\) 中所有同时包含 \(F\) 与 \(\alpha\) 的子域的交

若一次添加多个元素，则写成 \[ F(\alpha_1,\dots,\alpha_k) \]

也可以逐步理解为 \[ F(\alpha_1,\dots,\alpha_k)=F(\alpha_1)\cdots(\alpha_k) \]

添加顺序不影响最终得到的最小子域

例如：\(\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)\)

定义 13.5.3 素域

没有真子域的域称为素域

例子：

• \(\mathbb{Q}\) 是素域
• 若 \(p\) 是素数，则 \(\mathbb{Z}_p\) 是素域

前面从子域出发讨论扩域，现在反过来，从一个域出发，求它里面最小的子域是什么

定理 13.5.4 域的特征与素域

设 \(F\) 是域，则：

• \(\operatorname{char}F=0\) 或 \(\operatorname{char}F=p\)，其中 \(p\) 是素数
• 若 \(K/F\) 是扩域，则 \[ \operatorname{char}K=\operatorname{char}F \]
• \(F\) 必含一个素子域 \(\Delta\)
• 若 \(\operatorname{char}F=0\)，则 \(\Delta\cong \mathbb{Q}\)
• 若 \(\operatorname{char}F=p\)，则 \(\Delta\cong \mathbb{Z}_p\)

证明思路： 点击查看证明

考虑映射 \[ \varphi:\mathbb{Z}\to F,\qquad n\mapsto n\cdot 1_F \]

它的核只能是 \((0)\) 或 \((p)\)

若核为 \((p)\)，则 \[ \operatorname{Im}\varphi\cong \mathbb{Z}_p \] 而 \(\mathbb{Z}_p\) 已经是域，所以它就是由 \(1_F\) 生成的最小子域

若核为 \((0)\)，则 \(\mathbb{Z}\) 嵌入 \(F\)

一个子域只要含有 \(1_F\)，就必须含有所有整数倍，也必须含有非零整数的逆元，所以它必须含有一个同构于 \(\mathbb{Q}\) 的子域

因此素域只有这两类

扩域不改变特征，因为 \(F\) 与 \(K\) 的乘法单位元是同一个元素，单位元在加法群中的阶不变

若 \(F\) 是域，则加法群 \((F,+)\) 中所有非零元同阶；这个阶正是 \(\operatorname{char}F\)，当特征为 \(0\) 时理解为无穷阶

理由是：若 \(a,b\neq 0\)，且 \(na=0\)，则 \((na)b=0\)

也就是 \(a(nb)=0\)

域没有零因子，且 \(a\neq 0\)，所以 \(nb=0\)。由元素阶的整除性质可得两者阶相同

定义 13.5.4 代数元、超越元与极小多项式

设 \(K/F\) 是扩域，\(\alpha\in K\)

若存在非零多项式 \(f(x)\in F[x]\) 使得 \[ f(\alpha)=0 \] 则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元

否则称 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的超越元

直观地说，代数元就是某个 \(F\) 系数多项式方程的根

例子：

• \(\sqrt2\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元，因为它是 \(x^2-2\) 的根
• \(i\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元，因为它是 \(x^2+1\) 的根
• \(e\) 与 \(\pi\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的超越元

设 \[ \alpha=\sqrt[3]{2}+\sqrt5 \]

令 \(x=\alpha\)，则 \(x-\sqrt5=\sqrt[3]{2}\)

两边三次方：\((x-\sqrt5)^3=2\)

整理得 \(x^3+15x-2=\sqrt5(3x^2+5)\)

再平方消去 \(\sqrt5\)： \((x^3+15x-2)^2=5(3x^2+5)^2\)

因此 \[ x^6-15x^4-4x^3+75x^2-60x-121=0 \]

这说明 \(\sqrt[3]{2}+\sqrt5\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的代数元

注意：这样得到的多项式未必是极小多项式

定义 13.5.5 极小多项式

设 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元

若 \(p(x)\in F[x]\) 满足：

• \(p(\alpha)=0\)
• \(p(x)\) 首一
• 在所有以 \(\alpha\) 为根的 \(F[x]\) 中非零多项式里，\(p(x)\) 次数最低

则称 \(p(x)\) 是 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的极小多项式

例子：

• \(\sqrt2\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式是 \(x^2-2\)
• \(i\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式是 \(x^2+1\)

说明“能找到一个多项式”不等于“已经找到极小多项式”

例如 \(\cos\frac{2\pi}{5}\)

通过五次单位根可以得到 \[ 16x^5-20x^3+5x-1 \] 以 \(\cos(2\pi/5)\) 为根。但 \[ 16x^5-20x^3+5x-1=(x-1)(4x^2+2x-1)^2 \]

真正的极小多项式应取首一的二次因子： \[ x^2+\frac12x-\frac14 \]

定理 13.5.5 极小多项式的性质

设 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元，\(p(x)\) 是其极小多项式，则：

• \(p(x)\) 在 \(F[x]\) 中不可约
• 若 \(f(x)\in F[x]\) 且 \(f(\alpha)=0\)，则 \[ p(x)\mid f(x) \]
• 极小多项式唯一

证明： 点击查看证明

先证不可约。

若 \(p(x)\) 可约，则可写成 \[ p(x)=g(x)q(x) \] 其中 \(g,q\) 都是正次数多项式，且次数都小于 \(\deg p\)

代入 \(\alpha\)： \[ 0=p(\alpha)=g(\alpha)q(\alpha) \]

域没有零因子，所以 \(g(\alpha)=0\) 或 \(q(\alpha)=0\)

这就找到一个次数更低、仍以 \(\alpha\) 为根的多项式，与极小性矛盾

所以 \(p(x)\) 不可约。

再证整除性

对 \(f(x)\) 除以 \(p(x)\)： \[ f(x)=p(x)s(x)+r(x),\qquad r=0\ \text{或}\ \deg r<\deg p \]

代入 \(\alpha\)： \[ 0=f(\alpha)=p(\alpha)s(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha) \]

若 \(r\neq 0\)，则 \(r\) 是次数比 \(p\) 更低、仍以 \(\alpha\) 为根的多项式，矛盾

所以 \(r=0\)，即 \[ p(x)\mid f(x) \]

最后证唯一性

若 \(p_1(x)\) 也是 \(\alpha\) 的极小多项式，则由整除性有 \[ p\mid p_1,\qquad p_1\mid p \]

所以二者只差一个非零常数倍。又二者都首一，故 \[ p=p_1 \]

推论：若 \(p(x)\in F[x]\) 首一、不可约，且 \(p(\alpha)=0\)，则 \(p(x)\) 就是 \(\alpha\) 在 \(F\) 上的极小多项式

定义 13.5.6 代数扩域与单代数扩域

若 \(K/F\) 是扩域，且 \(K\) 中每个元素都是 \(F\) 上的代数元，则称 \(K\) 是 \(F\) 的代数扩域

若 \[ K=F(\alpha) \] 且 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元，则称 \(K/F\) 是单代数扩域

定理 13.5.6 单代数扩域的结构

设 \(\alpha\) 是 \(F\) 上代数元，极小多项式为 \(p(x)\)，且 \(\deg p(x)=n\)

则：

\[ F(\alpha)\cong F[x]/(p(x)) \]

并且 \(F(\alpha)\) 中每个元素可唯一写成 \[ a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}\alpha^{n-1},\qquad a_i\in F \]

所以 \[ [F(\alpha):F]=n \]

证明： 点击查看证明

定义代入同态 \[ \varphi:F[x]\to F(\alpha),\qquad f(x)\mapsto f(\alpha) \]

它的像为 \(F[\alpha]\)

由极小多项式的整除性， \[ \ker\varphi=(p(x)) \]

于是由环同态基本定理： \[ F[x]/(p(x))\cong F[\alpha] \]

又因为 \(p(x)\) 不可约，\((p(x))\) 是极大理想，所以商环是域。因此 \(F[\alpha]\) 本身就是域，包含 \(F\) 与 \(\alpha\)，并且是最小的那个域： \[ F[\alpha]=F(\alpha) \]

唯一表示来自商环中的带余除法

定理 13.5.7 相同极小多项式给出同构单扩域

若 \(\alpha,\beta\) 在同一个域 \(F\) 上具有相同的极小多项式 \(p(x)\)，则 \[ F(\alpha)\cong F(\beta) \]

同构由 \[ \alpha\mapsto \beta,\qquad a\mapsto a\ (a\in F) \] 确定

这说明：单代数扩域的结构本质上由极小多项式决定

如果两个基域本来就同构，并且在同构下对应的极小多项式相同，那么扩张后的单代数扩域仍然同构。

定理 13.5.8 有限扩张一定代数

若 \([K:F]<\infty\)，则 \(K/F\) 是代数扩域

证明： 点击查看证明

设 \([K:F]=n\)

任取 \(\alpha\in K\)，则 \[ 1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^n \] 是 \(K\) 这个 \(n\) 维 \(F\)-向量空间中的 \(n+1\) 个向量，必线性相关

所以存在不全为零的 \(a_i\in F\) 使得 \[ a_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n=0 \]

这说明 \(\alpha\) 是 \(F\) 上的代数元

反过来不成立：代数扩张未必有限。比如所有复代数数组成的域 \(\overline{\mathbb{Q}}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 的代数扩张，但它不是有限扩张

定义 13.5.7 根域

设 \(F\) 是域，\(f(x)\in F[x]\)，且 \(\deg f=n\geq 1\)

若扩域 \(N/F\) 满足：

• \(f(x)\) 在 \(N[x]\) 中可分解为 \(n\) 个一次因子的乘积
• \(f(x)\) 在 \(N\) 的任一包含 \(F\) 的真子域上都不能分解为一次因子的乘积

则称 \(N\) 是 \(f(x)\) 在 \(F\) 上的根域

这里第二条必须说“包含 \(F\) 的真子域”

根域不是只看多项式本身，还必须看它是“在哪个基域上”的根域

因此根域依赖两件事：

• 多项式 \(f(x)\)
• 基域 \(F\)

例子：

\[ x^2-2 \] 在 \(\mathbb{Q}\) 上的根域是 \(\mathbb{Q}(\sqrt2)\)

若把基域换成 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt3)\)

则 \(x^2-2\) 在 \(F\) 上的根域应为 \(F(\sqrt2)=\mathbb{Q}(\sqrt3,\sqrt2)\)

根域必须包含原来的基域 \(F\)

引理 13.5.9 不可约多项式可通过商域添根

若 \(p(x)\in F[x]\) 不可约，则存在 \(F\) 的有限扩域 \(K\)，使 \(p(x)\) 在 \(K\) 中有根

证明： 点击查看证明

取 \[ K=F[x]/(p(x)) \]

令 \[ \alpha=x+(p(x))\in K \]

则在 \(K\) 中有 \[ p(\alpha)=p(x)+(p(x))=0 \]

所以 \(\alpha\) 是 \(p(x)\) 在扩域 \(K\) 中的根

又由定理 13.5.2， \[ [K:F]=\deg p(x)<\infty \]

定理 13.5.10 根域存在

任意域 \(F\) 上的任意正次数多项式 \(f(x)\in F[x]\) 都存在根域

证明思路： 点击查看证明

对 \(\deg f\) 归纳。

若 \(\deg f=1\)，它已经是一次因子

若 \(\deg f=n\geq 2\)，先把 \(f\) 分解成不可约多项式乘积，取其中一个不可约因子 \(p_1(x)\)。

由上一个引理，存在有限扩域 \(K'/F\)，使 \(p_1(x)\) 在 \(K'\) 中有根 \(\alpha\)，于是 \[ f(x)=(x-\alpha)g(x) \] 其中 \(g(x)\in K'[x]\) 且 \(\deg g=n-1\)。

对 \(g(x)\) 用归纳假设，使它在某个扩域中完全分解。

这样就得到一个包含 \(f\) 全部根的扩域。取其中由 \(F\) 和全部根生成的最小子域，即为根域。

根域在保持基域不变的同构意义下唯一

注记 13.5.11 Eisenstein 判别法用处

ls13 已经给出 Eisenstein 判别法

对任意正整数 \(n\)，都存在 \(\mathbb{Q}\) 上的 \(n\) 次不可约多项式

例如 \[ f(x)=x^n+2 \]

取素数 \(2\)：

• \(2\nmid 1\)
• 除首项外，其余系数都被 \(2\) 整除
• 常数项 \(2\) 不被 \(2^2=4\) 整除

所以由 Eisenstein 判别法，\(x^n+2\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约

于是 \[ \mathbb{Q}[x]/(x^n+2) \] 给出一个 \(n\) 次扩张

定义 13.5.8 有限域

元素个数有限的域称为有限域，也称为伽罗瓦域。

若有限域有 \(q\) 个元素，常记为 \[ GF(q) \]

定理 13.5.12 有限域的阶必为素数幂

若 \(F\) 是有限域，则存在素数 \(p\) 与整数 \(m\geq 1\)，使得 \(|F|=p^m\)

证明： 点击查看证明

有限域的特征不能为 \(0\)，所以 \(\operatorname{char}F=p\)

其中 \(p\) 是素数

由素域定理，\(F\) 含有一个同构于 \(\mathbb{Z}_p\) 的素子域 \(\Delta\)

把 \(F\) 看成 \(\Delta\) 上的向量空间。因为 \(F\) 有限，所以维数有限，设 \[ [F:\Delta]=m \]

取一组基 \[ \lambda_1,\dots,\lambda_m \]

则每个元素唯一写成 \[ a_1\lambda_1+\cdots+a_m\lambda_m,\qquad a_i\in \Delta \]

每个 \(a_i\) 有 \(p\) 种选择，所以 \[ |F|=p^m \]

于是定义：

具有 \(p^m\) 个元素的有限域称为 \(p^m\) 阶伽罗瓦域，记为 \[ GF(p^m) \]

定理 13.5.13 有限域是 \(x^q-x\) 的根域

设 \(F\) 是有限域，\(|F|=q=p^m\)，\(\Delta\) 是它的素域

则 \(F\) 是多项式 \[ x^q-x \] 在 \(\Delta\) 上的根域

证明： 点击查看证明

非零元全体 \(F^\times\) 在乘法下构成有限群，阶为 \(q-1\)

由 Lagrange 定理，对任意 \(a\in F^\times\) 有 \(a^{q-1}=1\)

所以 \(a^q-a=0\)

零元也满足 \(0^q-0=0\)

因此 \(F\) 中每个元素都是 \(x^q-x\) 的根

该多项式次数为 \(q\)，而 \(F\) 已经给出 \(q\) 个根，所以它在 \(F\) 中完全分裂，并且其根集正好是整个 \(F\)。

故 \(F\) 是 \(x^q-x\) 在素域 \(\Delta\) 上的根域

推论：有限域 \(GF(p^m)\) 中任一元素，在其素域 \(\mathbb{Z}_p\) 上都有极小多项式，因为它至少满足 \[ x^{p^m}-x=0 \]

定理 13.5.14 同阶有限域同构

任意两个同阶有限域同构

证明思路：

若两个有限域同为 \(p^m\) 阶，则它们的素域都同构于 \(\mathbb{Z}_p\)

又由上一定理，它们都是同一个多项式 \[ x^{p^m}-x \] 在 \(\mathbb{Z}_p\) 上的根域

根域在同构意义下唯一，所以这两个有限域同构

定理 13.5.15 任意素数幂阶有限域都存在

给定素数 \(p\) 与正整数 \(m\)，令 \[ q=p^m \]

则多项式 \[ x^q-x\in \mathbb{Z}_p[x] \] 的根域是一个 \(q\) 阶有限域

证明： 点击查看证明

先说明 \(x^q-x\) 没有重根

在特征 \(p\) 下， \[ (x^q-x)'=qx^{q-1}-1=p^m x^{q-1}-1=-1 \]

所以它与自己的形式导数没有公共根，故无重根

设 \(N\) 是 \(x^q-x\) 在 \(\mathbb{Z}_p\) 上的根域，令 \(M\) 为它的全部根组成的集合

因为无重根，所以 \(|M|=q\)

下面证明 \(M\) 本身就是域

若 \(a,b\in M\)，则 \[ a^q=a,\qquad b^q=b \]

在特征 \(p\) 下，反复使用 \[ (u+v)^p=u^p+v^p \] 可得 \[ (a\pm b)^q=a^q\pm b^q=a\pm b \]

所以 \(a\pm b\in M\)

若 \(b\neq 0\)，则 \[ (ab^{-1})^q=a^q(b^q)^{-1}=ab^{-1} \]

所以 \(ab^{-1}\in M\)

因此 \(M\) 对减法和除法封闭，是 \(N\) 的子域

但 \(N\) 是由全部根生成的最小域，而全部根已经组成域 \(M\)，故 \[ N=M \]

于是 \[ |N|=q=p^m \]

综合定理 13.5.14 与 13.5.15：

• 对每个素数 \(p\) 与正整数 \(m\)，存在 \(p^m\) 阶有限域
• 同阶有限域在同构意义下唯一

所以写 \[ GF(p^m) \] 是合理的。

例 13.5.16 构造 \(GF(125)\)

因为 \[ 125=5^3 \]

要构造 \(GF(125)\)，可以找一个 \(\mathbb{Z}_5[x]\) 中的三次不可约多项式。

取 \[ p(x)=x^3+x+1 \]

验证它在 \(\mathbb{Z}_5\) 中没有根：

\[ p(0)=1 \]

\[ p(1)=3 \]

\[ p(2)=8+2+1=11\equiv 1 \]

\[ p(3)=27+3+1=31\equiv 1 \]

\[ p(4)=64+4+1=69\equiv 4 \]

三次多项式若可约，则必有一次因子，也就是必有根。现在它没有根，所以不可约。

因此 \[ GF(125)\cong \mathbb{Z}_5[x]/(x^3+x+1) \]

其中每个元素唯一写成 \[ ax^2+bx+c,\qquad a,b,c\in \mathbb{Z}_5 \]

共有 \[ 5^3=125 \] 个元素。

例 13.5.17 同阶有限域的两个表示

在 \(\mathbb{Z}_2[x]\) 中， \[ x^3+x+1,\qquad x^3+x^2+1 \] 都是不可约三次多项式。

于是 \[ \mathbb{Z}_2[x]/(x^3+x+1) \] 和 \[ \mathbb{Z}_2[x]/(x^3+x^2+1) \] 都是 \(2^3\) 阶有限域。

由同阶有限域唯一性，它们同构，都是 \[ GF(2^3) \]

这点很重要：有限域可以有不同的商环表示，但只要阶相同，抽象域结构相同。

定义 13.5.9 本原元与本原多项式

有限域 \(GF(p^m)\) 可以看成 \(\mathbb{Z}_p\) 上的 \(m\) 维线性空间

若 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) 是一组基，则 \[ GF(p^m)=\{a_1\lambda_1+\cdots+a_m\lambda_m\mid a_i\in \mathbb{Z}_p\} \]

这种表示下，加法很简单： \[ (a_1\lambda_1+\cdots+a_m\lambda_m)+(b_1\lambda_1+\cdots+b_m\lambda_m) \] \[ =(a_1+b_1)\lambda_1+\cdots+(a_m+b_m)\lambda_m \]

但乘法会复杂得多，因为基向量之间的乘积还要再化回基表示

课堂上引入本原元的动机就是：把非零元都写成某个元素的幂。这样乘法就变成指数相加

引理 13.5.18 有限交换群中的最大阶元素

设 \(G\) 是有限交换群

若 \(a,b\in G\) 的阶分别为 \(n,m\)，则存在 \(c\in G\)，使得 \[ |c|=\operatorname{lcm}(n,m) \]

因此，若 \(a\in G\) 是阶最大的元素，阶为 \(t\)，则任意 \(x\in G\) 的阶都整除 \(t\)

证明思路： 点击查看证明

第一步，把 \(n,m\) 做素因数分解

把 \(n\) 中指数较大的素因子部分和 \(m\) 中指数较大的素因子部分分开，构造 \[ a'=a^{n_1},\qquad b'=b^{m_2} \] 使得 \(a'\) 与 \(b'\) 的阶互素，且它们阶的乘积正好是 \(\operatorname{lcm}(n,m)\)

因为 \(G\) 交换，互素阶元素的乘积阶等于阶的乘积，所以 \(a'b'\) 就是所需元素

第二步，若 \(a\) 的阶 \(t\) 最大，而某个 \(x\) 的阶为 \(s\)，则由第一步可得一个阶为 \(\operatorname{lcm}(s,t)\) 的元素

最大性迫使 \[ \operatorname{lcm}(s,t)\leq t \] 故 \[ s\mid t \]

定理 13.5.19 有限域的乘法群是循环群

设 \(F=GF(p^m)\)

则 \(F^\times\) 在乘法下是循环群

证明： 点击查看证明

设 \(\alpha\in F^\times\) 是阶最大的元素，记其阶为 \(t\)

由上一引理，任意 \(x\in F^\times\) 的阶都整除 \(t\)，所以 \[ x^t=1 \]

于是 \(F^\times\) 中每个元素都是多项式 \(x^t-1\) 的根

域上 \(t\) 次多项式至多有 \(t\) 个根，所以 \[ |F^\times|\leq t \]

另一方面，\(\alpha\in F^\times\)，其阶 \(t\) 必整除群阶 \[ |F^\times|=p^m-1 \] 故 \[ t\leq |F^\times| \]

因此 \[ t=|F^\times|=p^m-1 \]

所以 \(\alpha\) 生成整个 \(F^\times\)。

定义 13.5.10 本原元

有限域 \(GF(p^m)\) 中，乘法群 \[ GF(p^m)^\times \] 的生成元称为 \(GF(p^m)\) 的本原元

若 \(\beta\) 是本原元，则 \[ GF(p^m)=\{0,1,\beta,\beta^2,\dots,\beta^{p^m-2}\} \]

因为 \(\beta\) 的阶为 \[ p^m-1 \]

本原元个数为 \[ \varphi(p^m-1) \] 其中 \(\varphi\) 是 Euler 函数

例 13.5.20 \(GF(3^2)\) 的本原元

取 \[ GF(9)=\mathbb{Z}_3[\alpha],\qquad \alpha^2=-1 \] 也就是 \[ GF(9)\cong \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) \]

非零元乘法群阶为 \[ 9-1=8 \]

\(\alpha^2=-1\)，所以 \(\alpha\) 的阶为 \(4\)，不是本原元

令 \[ \beta=1+\alpha \]

则 \[ \beta^2=(1+\alpha)^2=1+2\alpha+\alpha^2=2\alpha \]

\[ \beta^4=(2\alpha)^2=4\alpha^2=\alpha^2=-1=2 \]

所以 \[ \beta^8=1 \] 且 \(\beta^4\neq 1\)，故 \(\beta\) 的阶为 \(8\)

因此 \(\beta=1+\alpha\) 是本原元。

全部本原元为 \[ \beta^k,\qquad 1\leq k\leq 8,\quad (k,8)=1 \] 也就是 \[ 1+\alpha,\quad 1+2\alpha,\quad 2+2\alpha,\quad 2+\alpha \]

共有 \(\varphi(8)=4\)个

定义 13.5.11 本原多项式

设 \(g(x)\in \mathbb{Z}_p[x]\) 是 \(m\) 次不可约多项式

若 \[ g(x)\mid x^{p^m-1}-1 \] 且对任意 \[ 1\leq k<p^m-1 \] 都有 \[ g(x)\nmid x^k-1 \] 则称 \(g(x)\) 是 \(\mathbb{Z}_p\) 上的本原多项式

等价地说：\(g(x)\) 的根在 \[ \mathbb{Z}_p[x]/(g(x))\cong GF(p^m) \] 中是本原元

这一定义的含义是：用 \(g(x)\) 构造出的有限域里，\(x+(g(x))\) 不只是某个非零元，而是能生成全部非零元的本原元

例 13.5.21 \(GF(3^2)\) 中的本原多项式

继续取 \[ GF(9)=\mathbb{Z}_3(\alpha),\qquad \alpha^2=-1 \]

上例中本原元有四个： \[ 1+\alpha,\quad 1+2\alpha,\quad 2+2\alpha,\quad 2+\alpha \]

在 \(GF(9)/\mathbb{Z}_3\) 中，Frobenius 映射为 \[ u\mapsto u^3 \]

本原元按共轭成对出现： \[ (1+\alpha)^3=1+2\alpha \]

\[ (2+\alpha)^3=2+2\alpha \]

所以对应的两个二次本原多项式为 \[ (x-(1+\alpha))(x-(1+2\alpha)) \] 和 \[ (x-(2+\alpha))(x-(2+2\alpha)) \]

利用 \(\alpha^2=-1\)，可化为 \[ x^2+x-1 \] 和 \[ x^2-x-1 \]

在 \(\mathbb{Z}_3[x]\) 中也可写成 \[ x^2+x+2,\qquad x^2+2x+2 \]

它们就是 \(\mathbb{Z}_3\) 上的两个二次本原多项式

注记 13.5.22 本原元用处

若用线性空间表示有限域元素，加法很直接，乘法往往要做多项式乘法再模不可约多项式化简

若找到本原元 \(\beta\)，每个非零元都写成 \(\beta^i\)

那么非零元乘法变成 \(\beta^i\beta^j=\beta^{i+j}\)

指数按模 \(p^m-1\) 计算

这就是“把乘法运算转换成元素的幂的加法”

例如在 \[ GF(2^4)\cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^4+x+1) \] 中，若 \(x^4+x+1\) 是本原多项式，令 \(\alpha=x+(x^4+x+1)\)，则 \(\alpha\) 是本原元。非零元都可列成 \[ 1,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^{14} \]

实际计算时可以用关系 \[ \alpha^4+\alpha+1=0 \] 也就是 \[ \alpha^4=\alpha+1 \] 不断把高次幂化成低次表示