代数结构与数理逻辑学习笔记3

除特别说明外，环不必交换，也不必含单位元；而在讨论整除、因式分解、多项式环等内容时，默认考虑含幺交换环。

定义 13.1 环与同态

环是一个非空集合 \(R\) 和两个二元运算（加法 \(+\) 与乘法 \(\cdot\)，通常简写为乘法并省略 \(\cdot\)），满足：

• \((R,+)\) 是 Abel 群
• 对所有 \(a,b,c \in R\)，有 \((ab)c = a(bc)\)
• 对所有 \(a,b,c \in R\)，有 \(a(b+c)=ab+ac\) 与 \((a+b)c=ac+bc\)

如果还满足

• 对所有 \(a,b \in R\)，\(ab=ba\)

则称 \(R\) 为交换环。

如果存在元素 \(1_R \in R\) 使得

• 对所有 \(a \in R\)，\(1_R a = a 1_R = a\)

则称 \(R\) 为含幺环（ring with identity）。

环的加法单位元称为零元，记为 \(0\)。

若 \(a \in R\) 且 \(n \in \mathbb{Z}\)，则 \(na\) 表示加法群中的整数倍。

零因子：环 \(R\) 的非零元 \(a\) 称为左零因子，如果存在非零 \(b \in R\) 使得 \(ab=0\)；右零因子定义类似。若既是左零因子又是右零因子，则称为零因子。

可逆元（单位）：设 \(R\) 是含幺环。若 \(a \in R\) 存在 \(b \in R\) 使得 \(ab=ba=1_R\)，则称 \(a\) 可逆，\(b\) 称为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。全体可逆元记为 \(U(R)\)。

整环：含幺交换环 \(R\) 若满足 \(1_R \neq 0\) 且无零因子，则称为整环（integral domain）。

除环：含幺环 \(D\) 若其每个非零元素都可逆，则称为除环（division ring）。

域：交换的除环称为域。

常见例子：

• \(\mathbb{Z}\) 是整环
• 偶整数集 \(2\mathbb{Z}\) 在通常加法和乘法下是交换环，但不是含幺环
• \(\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}\) 都是域
• \(M_n(F)\)（域 \(F\) 上的 \(n\) 阶矩阵环）是含幺但一般不交换的环
• \(\mathbb{Z}_n\) 是含幺交换环；当 \(n=p\) 为素数时，\(\mathbb{Z}_p\) 是域
• 若 \(A\) 是 Abel 群，则 \(\operatorname{End}(A)\) 在点加与复合下构成含幺环
• 若 \(G\) 是群、\(R\) 是环，则群环 \(R(G)\) 也是一个重要例子

定理 13.1.1

设 \(R\) 是环，则对所有 \(a,b \in R\)，\(n \in \mathbb{Z}\)，有：

• \(0a=a0=0\)
• \((-a)b=a(-b)=-(ab)\)
• \((-a)(-b)=ab\)
• \((na)b=a(nb)=n(ab)\)
• 对有限和有分配律：\(\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right)=\sum_{i,j} a_i b_j\)

证明： 点击查看证明

证明：

（1） \[ 0a=(0+0)a=0a+0a \] 两边加上 \(-(0a)\) 得 \(0a=0\)，同理 \(a0=0\)。

（2） \[ ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0 \] 所以 \((-a)b=-(ab)\)。另一式同理。

（3） \[ (-a)(-b)= -\bigl(a(-b)\bigr)=-\bigl(-(ab)\bigr)=ab \]

（4）由（2）及归纳法可得。

（5）对和式项数作归纳即可。

定理 13.1.2

设 \(R\) 是含幺环，则：

• 每个单位的左逆和右逆一致
• \(U(R)\) 在乘法下构成一个群
• 若 \(R\) 是除环，则 \(R \setminus \{0\}\) 在乘法下构成群

证明： 点击查看证明

设 \(ab=1_R=ca\)，则 \[ b=1_R b=(ca)b=c(ab)=c1_R=c \] 故左逆与右逆相等。

若 \(u,v \in U(R)\)，则 \[ (uv)(v^{-1}u^{-1})=u(vv^{-1})u^{-1}=1_R \] 同理 \((v^{-1}u^{-1})(uv)=1_R\)，故 \(uv \in U(R)\) 且 \((uv)^{-1}=v^{-1}u^{-1}\)。

单位元为 \(1_R\)，逆元存在由定义即得，所以 \(U(R)\) 成群。

定理 13.1.3

设 \(R\) 是含幺环，则 \(R\) 无零因子当且仅当在 \(R\) 中左右消去律成立，即对任意 \(a,b,c \in R\)，若 \(a \neq 0\)，则

• \(ab=ac \Rightarrow b=c\)
• \(ba=ca \Rightarrow b=c\)

证明： 点击查看证明

若 \(R\) 无零因子，且 \(a \neq 0,\ ab=ac\)，则 \[ a(b-c)=0 \] 由无零因子知 \(b-c=0\)，故 \(b=c\)。右消去律同理，因为 \[ (b-c)a=0 \] 也推出 \(b=c\)。

反之，若左右消去律成立。若 \(ab=0\) 且 \(a \neq 0\)，则 \[ ab=a0 \] 由左消去律得 \(b=0\)。同理，若 \(ba=0\) 且 \(a \neq 0\)，则由右消去律得 \(b=0\)。故 \(R\) 无零因子。

环同态：设 \(R,S\) 是环，映射 \(f:R \to S\) 若满足对所有 \(a,b \in R\) 都有

• \(f(a+b)=f(a)+f(b)\)
• \(f(ab)=f(a)f(b)\)

则称 \(f\) 为环同态。

若 \(f\) 是单射、满射、双射，则分别称为单同态、满同态、同构。

若 \(R=S\)，则称为自同构。

若 \(f:R \to S\) 是环同态，则：

• \(f(0)=0\)
• \(f(-a)=-f(a)\)
• \(f(na)=nf(a)\)
• 若 \(R,S\) 含幺，本文一般不默认 \(f(1_R)=1_S\)

核与像： \[ \ker f=\{r \in R \mid f(r)=0\}, \qquad \operatorname{Im} f = \{f(r)\mid r \in R\} \]

定义 13.1.4 特征

设 \(R\) 是环。若存在最小正整数 \(n\) 使得对所有 \(a \in R\) 都有 \(na=0\)，则称 \(R\) 的特征为 \(n\)，记为 \(\operatorname{char} R = n\)；若不存在这样的正整数，则称 \(\operatorname{char} R = 0\)。

若 \(R\) 是含幺环，则等价地说：\(\operatorname{char} R\) 是满足 \(n1_R=0\) 的最小正整数；若不存在，则特征为 \(0\)。

定理 13.1.4

设 \(R\) 是含幺环且 \(\operatorname{char} R=n>0\)，则：

• 映射 \(\varphi:\mathbb{Z}\to R,\ m\mapsto m1_R\) 是环同态
• \(\ker \varphi = (n)=n\mathbb{Z}\)
• 若 \(R\) 无零因子，则 \(n\) 必为素数

证明： 点击查看证明

映射 \(\varphi(m)=m1_R\) 满足 \[ \varphi(m+\ell)=(m+\ell)1_R=m1_R+\ell1_R \] 以及 \[ \varphi(m\ell)=(m\ell)1_R=(m1_R)(\ell1_R) \] 故为环同态。

若 \(k1_R=0\)，则对任意 \(a \in R\) 有 \[ ka=k(1_Ra)=(k1_R)a=0a=0 \] 故 \(k\) 必是特征的倍数，因此 \(\ker \varphi=(n)\)。

若 \(n=ab\) 为合数，其中 \(1<a<n,1<b<n\)，则 \[ 0=n1_R=(a1_R)(b1_R) \] 而 \(a1_R,b1_R \neq 0\) 与无零因子矛盾，所以 \(n\) 必为素数。

定理 13.1.5

每个环都可以嵌入某个含幺环中；而且这个含幺环可以取成特征为 \(0\)，或者与原环有相同特征。

证明： 点击查看证明

先构造特征为 \(0\) 的含幺环。取 \[ S=R \oplus \mathbb{Z} \] 加法按分量定义，乘法定义为 \[ (r,m)(s,n)=(rs+ms+nr,mn) \] 其中 \(ms,\ nr\) 表示在 \(R\) 中的整数倍。由分配律和整数倍的基本性质可直接验证这使 \(S\) 成为环，且 \[ (0,1) \] 是它的单位元。映射 \[ \iota:R \to S,\qquad r \mapsto (r,0) \] 显然保持加法与乘法，又是单射，因此 \(R\) 嵌入含幺环 \(S\)。并且 \[ k(0,1)=(0,k) \] 只有在 \(k=0\) 时才等于零元，所以 \(\operatorname{char} S=0\)。

若 \(\operatorname{char} R=n>0\)，则把上面的 \(\mathbb{Z}\) 换成 \(\mathbb{Z}_n\)，得到 \[ S_n=R \oplus \mathbb{Z}_n \] 并定义 \[ (r,\bar m)(s,\bar n)=(rs+\bar m s+\bar n r,\overline{mn}) \] 这里 \(\bar m r\) 的定义与代表元无关，因为 \(nr=0\)。同样可直接验证 \(S_n\) 是含幺环，单位元为 \((0,\bar 1)\)，而 \[ r \mapsto (r,\bar 0) \] 仍给出一个嵌入。又 \[ k(0,\bar 1)=(0,\bar k) \] 故 \(\operatorname{char} S_n=n=\operatorname{char} R\)。

当 \(\operatorname{char} R=0\) 时，“相同特征”这一情形与第一种构造一致。

这说明“是否含幺”在很多结构讨论中只是一个技术差异，而不是本质障碍。

定义 13.2 理想

设 \(R\) 是环。

子环：非空子集 \(S \subseteq R\) 若对加法和乘法封闭，并且在这些运算下自身构成环，则称为 \(R\) 的子环。

左理想 / 右理想 / 理想：子环 \(I \subseteq R\) 若满足

• 对任意 \(r \in R,\ x \in I\)，有 \(rx \in I\)

则称 \(I\) 为左理想；若对任意 \(r \in R,\ x \in I\) 有 \(xr \in I\)，则称为右理想；若同时满足左右两侧封闭，则称为理想。

在交换环中，左右理想无区别。

定理 13.2.1 理想判定法

设 \(I\) 是环 \(R\) 的非空子集，则 \(I\) 是理想当且仅当：

• 对所有 \(a,b \in I\)，有 \(a-b \in I\)
• 对所有 \(r \in R,\ a \in I\)，有 \(ra,ar \in I\)

在交换环中第二条可简化为 \(ra \in I\)。

证明： 点击查看证明

若 \(I\) 是理想，则它作为加法群的子群，必对减法封闭；又由理想定义可知左右吸收成立。

反之，若满足两条，则：

• 由 \(a-a=0 \in I\) 知 \(I\) 含零元
• 由 \(a,b \in I \Rightarrow a-(-b)=a+b \in I\) 得对加法封闭
• 由 \(0-a=-a \in I\) 得加法逆元存在

故 \((I,+)\) 是 Abel 群；乘法封闭由 \(a,b \in I\) 时取 \(r=a\) 得 \(ab \in I\)；结合律与分配律继承自 \(R\)。因此 \(I\) 是子环，且左右吸收，所以是理想。

定义 13.2.2 生成理想与主理想

设 \(X \subseteq R\)。包含 \(X\) 的所有理想的交仍是理想，称为 \(X\) 在 \(R\) 中生成的理想，记为 \((X)\)。

若 \(X=\{a\}\) 为单元素集，则 \((a)\) 称为由 \(a\) 生成的主理想。

在含幺交换环中， \[ (a)=Ra=\{ra \mid r \in R\} \] 而一般地，若 \(X=\{a_1,\dots,a_n\}\)，则 \[ (X)=Ra_1+\cdots+Ra_n \]

定理 13.2.2

设 \(A,A_1,\dots,A_n,B,C\) 是环 \(R\) 的理想，则：

• \(A_1+\cdots+A_n\) 是理想
• \(A_1A_2\cdots A_n\)（有限和形式的积）是理想
• \((A+B)+C=A+(B+C)\)
• \((AB)C=A(BC)\)
• \(B(A_1+\cdots+A_n)=BA_1+\cdots+BA_n\)
• \((A_1+\cdots+A_n)C=A_1C+\cdots+A_nC\)

此外，任意理想族的交仍为理想。

证明： 点击查看证明

和理想的情形最直接。若 \(x=a_1+\cdots+a_n,\ y=b_1+\cdots+b_n \in A_1+\cdots+A_n\)，则 \[ x-y=(a_1-b_1)+\cdots+(a_n-b_n) \in A_1+\cdots+A_n \] 而对任意 \(r \in R\)， \[ rx=ra_1+\cdots+ra_n,\qquad xr=a_1r+\cdots+a_nr \] 仍都落在 \(A_1+\cdots+A_n\) 中，所以它是理想。

对积理想先证 \(AB\)。按定义，\(AB\) 中元素都是有限和 \[ \sum_i a_i b_i,\qquad a_i \in A,\ b_i \in B \] 因此差仍是这种形式。并且 \[ r\sum_i a_i b_i=\sum_i (ra_i)b_i \in AB,\qquad \left(\sum_i a_i b_i\right)r=\sum_i a_i(b_i r) \in AB \] 故 \(AB\) 是理想。多个理想的积可由归纳法得到。

结合律方面，\((AB)C\) 与 \(A(BC)\) 中元素都恰是有限和 \[ \sum_i a_i b_i c_i,\qquad a_i \in A,\ b_i \in B,\ c_i \in C \] 因此 \[ (AB)C=A(BC) \]

分配律也由展开可得。比如 \(B(A_1+\cdots+A_n)\) 中任一元素可写成有限和 \[ \sum_j b_j(a_{1j}+\cdots+a_{nj}) =\sum_j b_j a_{1j}+\cdots+\sum_j b_j a_{nj} \] 故属于 \(BA_1+\cdots+BA_n\)；反过来由于 \(A_i \subseteq A_1+\cdots+A_n\)，每个 \(BA_i\) 都包含于 \(B(A_1+\cdots+A_n)\)，于是 \[ B(A_1+\cdots+A_n)=BA_1+\cdots+BA_n \] 右分配律同理。

最后，设 \(\{I_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}\) 是一族理想。若 \(x,y \in \bigcap_\lambda I_\lambda\)，则对每个 \(\lambda\) 都有 \(x-y \in I_\lambda\)，故 \[ x-y \in \bigcap_\lambda I_\lambda \] 对任意 \(r \in R\) 也有 \(rx,xr \in I_\lambda\) 对每个 \(\lambda\) 成立，因此交仍为理想。

定理 13.2.3 商环

设 \(I \triangleleft R\) 是理想，则加法商群 \(R/I\) 上可定义乘法 \[ (a+I)(b+I)=ab+I \] 且该运算良定义，从而 \(R/I\) 成为环，称为 \(R\) 模 \(I\) 的商环。

标准满同态 \[ \pi:R \to R/I,\quad a \mapsto a+I \] 称为正则射影，其核为 \(I\)。

证明： 点击查看证明

若 \(a-a' \in I,\ b-b' \in I\)，则 \[ ab-a'b'=(a-a')b+a'(b-b') \in I \] 故 \(ab+I=a'b'+I\)，因此乘法良定义。

其余环公理均由 \(R\) 的运算直接继承。

显然 \(\pi\) 为满同态，且 \[ \ker \pi = \{a \in R \mid a+I=I\}=I \]

定理 13.2.4 第一同构定理

若 \(f:R \to S\) 是环同态，则：

• \(\ker f\) 是 \(R\) 的理想
• \(\operatorname{Im} f\) 是 \(S\) 的子环
• \(R/\ker f \cong \operatorname{Im} f\)

证明： 点击查看证明

若 \(x,y \in \ker f\)，则 \[ f(x-y)=f(x)-f(y)=0 \] 故 \(x-y \in \ker f\)。

若 \(r \in R,\ x \in \ker f\)，则 \[ f(rx)=f(r)f(x)=0,\qquad f(xr)=f(x)f(r)=0 \] 所以 \(\ker f\) 是理想。

定义 \[ \bar f:R/\ker f \to \operatorname{Im} f,\quad \bar f(a+\ker f)=f(a) \] 若 \(a+\ker f=b+\ker f\)，则 \(a-b \in \ker f\)，即 \(f(a)=f(b)\)，故 \(\bar f\) 良定义。

它显然是满同态，而 \[ \bar f(a+\ker f)=0 \iff f(a)=0 \iff a \in \ker f \] 故其核平凡，因此为同构。

定理 13.2.5 第二、第三与对应定理

设 \(I,J \triangleleft R\) 为理想，则：

• 第二同构定理 \[ I/(I \cap J) \cong (I+J)/J \]

• 第三同构定理：若 \(I \subseteq J\)，则 \[ (R/I)/(J/I) \cong R/J \]

• 对应定理：包含 \(I\) 的所有理想与商环 \(R/I\) 的所有理想一一对应；在该对应下，素理想与极大理想也分别对应

证明与群论中的同构定理完全平行。

证明： 点击查看证明

对第二同构定理，定义 \[ \phi:I \to (I+J)/J,\qquad a \mapsto a+J \] 这是环同态。其核为 \[ \ker \phi=\{a \in I \mid a \in J\}=I \cap J \] 而像显然就是 \((I+J)/J\)，故由第一同构定理得 \[ I/(I \cap J) \cong (I+J)/J \]

对第三同构定理，若 \(I \subseteq J\)，定义 \[ \psi:R/I \to R/J,\qquad a+I \mapsto a+J \] 这是良定义的满同态，其核为 \[ \ker \psi=\{a+I \mid a \in J\}=J/I \] 于是 \[ (R/I)/(J/I) \cong R/J \]

对对应定理，记正则射影为 \[ \pi:R \to R/I \] 若 \(K\) 是包含 \(I\) 的理想，则 \[ K \mapsto K/I \] 给出 \(R/I\) 的一个理想；反过来，若 \(L \triangleleft R/I\)，则 \[ L \mapsto \pi^{-1}(L) \] 给出一个包含 \(I\) 的理想。两步复合都回到原来的理想，因此得到一一对应。

若 \(K\) 是包含 \(I\) 的理想，则 \(K/I\) 为素理想当且仅当：对任意 \(a,b \in R\)， \[ (a+I)(b+I) \in K/I \Rightarrow a+I \in K/I \text{ 或 } b+I \in K/I \] 这等价于 \[ ab \in K \Rightarrow a \in K \text{ 或 } b \in K \] 也即 \(K\) 是素理想。极大理想的情形则由这一定理给出的包含关系保持性立即得到：\(K\) 在所有包含 \(I\) 的真理想中极大，当且仅当 \(K/I\) 在 \(R/I\) 的所有真理想中极大。

定义 13.2.3 素理想与极大理想

设 \(R\) 是交换环。

若理想 \(P \neq R\) 满足：

• 对任意 \(a,b \in R\)，若 \(ab \in P\)，则 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)

则称 \(P\) 为素理想。

若理想 \(M \neq R\) 满足：

• 对任意理想 \(I\)，若 \(M \subseteq I \subseteq R\)，则 \(I=M\) 或 \(I=R\)

则称 \(M\) 为极大理想。

定理 13.2.6

设 \(R\) 是含幺交换环且 \(1_R \neq 0\)，则：

• \(P\) 是素理想当且仅当 \(R/P\) 是整环
• \(M\) 是极大理想当且仅当 \(R/M\) 是域
• 每个极大理想都是素理想
• 非零含幺环中极大理想总存在

证明： 点击查看证明

对素理想，注意 \[ (a+P)(b+P)=P \iff ab \in P \] 故 \(R/P\) 无零因子当且仅当 \(P\) 为素理想。

对极大理想，若 \(a+M \neq M\)，则 \((a)+M\) 严格包含 \(M\)，由极大性得 \((a)+M=R\)。于是存在 \(r \in R,\ m \in M\) 使得 \[ ra+m=1 \] 从而 \[ (r+M)(a+M)=1+M \] 故每个非零元可逆，\(R/M\) 为域。

反过来，若 \(R/M\) 为域，而 \(M \subseteq I \subseteq R\)，则 \(I/M\) 是 \(R/M\) 的理想，所以只能是 \(0\) 或 \(R/M\)，即 \(I=M\) 或 \(I=R\)。

由“域一定是整环”立得极大理想必为素理想。

极大理想存在性通常由 Zorn 引理证明。

定理 13.2.7 中国剩余定理

设 \(A_1,\dots,A_n\) 是环 \(R\) 的理想，且两两互素，即对 \(i \neq j\) 有 \[ A_i + A_j = R \] 则 \[ A_1 \cap \cdots \cap A_n = A_1 A_2 \cdots A_n \] 并且存在环同构 \[ R/(A_1 \cap \cdots \cap A_n) \cong R/A_1 \times \cdots \times R/A_n \]

更一般地，总有单同态 \[ R/(A_1 \cap \cdots \cap A_n) \hookrightarrow R/A_1 \times \cdots \times R/A_n \] 只有在两两互素时它才是满射。

证明思路： 点击查看证明

考虑自然同态 \[ \varphi:R \to R/A_1 \times \cdots \times R/A_n,\quad r \mapsto (r+A_1,\dots,r+A_n) \] 它的核显然是 \(A_1 \cap \cdots \cap A_n\)，故由第一同构定理， \[ R/(A_1 \cap \cdots \cap A_n) \cong \operatorname{Im}\varphi \]

若理想两两互素，则可构造元素 \(e_i \in R\) 使得

• \(e_i \equiv 1 \pmod{A_i}\)
• \(e_i \equiv 0 \pmod{A_j}\ (j \neq i)\)

于是任给 \((r_1+A_1,\dots,r_n+A_n)\)，取 \[ r=\sum_{i=1}^n e_i r_i \] 便有 \(\varphi(r)=(r_1+A_1,\dots,r_n+A_n)\)，从而 \(\varphi\) 满射。

定义 13.3 交换环中的因式分解

从这一节开始默认 \(R\) 是含幺交换环。

若存在 \(x \in R\) 使得 \(b=ax\)，则称 \(a\) 整除 \(b\)，记为 \(a \mid b\)。

若 \(a \mid b\) 且 \(b \mid a\)，则称 \(a,b\) 互为相伴元（associate）。

定理 13.3.1

设 \(a,b,u \in R\)，则：

• \(a \mid b \iff (b) \subseteq (a)\)
• \(a,b\) 互为相伴元 \(\iff (a)=(b)\)
• \(u\) 是单位元 \(\iff (u)=R\)
• “互为相伴元”是等价关系

在整环中，\(a,b\) 互为相伴元当且仅当 \(a=bu\)，其中 \(u\) 是单位元。

证明： 点击查看证明

由定义， \[ a \mid b \iff \exists x \in R,\ b=ax \] 这又等价于 \(b \in (a)\)，也即 \[ (b) \subseteq (a) \] 故第一条成立。

于是 \[ a,b \text{ 互为相伴元} \iff a \mid b \text{ 且 } b \mid a \iff (b) \subseteq (a),\ (a) \subseteq (b) \iff (a)=(b) \]

对单位元，若 \(u\) 是单位元，则存在 \(v\) 使 \(uv=1\)，故 \(1 \in (u)\)，于是 \[ (u)=R \] 反之若 \((u)=R\)，则 \(1 \in (u)\)，故存在 \(v\) 使 \[ uv=1 \] 于是 \(u\) 为单位元。

“互为相伴元”是等价关系：反身性来自 \(a=1 \cdot a\)，对称性由定义即得，传递性则由整除关系的传递性得到。

若 \(R\) 是整环，且 \(a,b\) 互为相伴元，则可写 \[ b=ac,\qquad a=bd \] 若 \(a=0\)，则 \(b=0\)，此时 \(a=b \cdot 1\)。若 \(a \neq 0\)，则 \[ a=acd \] 由消去律得 \(cd=1\)，故 \(c,d\) 都是单位元，从而 \[ a=bd \] 其中 \(d\) 为单位元。反过来，若 \(a=bu\) 且 \(u\) 是单位元，则显然 \(a \mid b\) 且 \(b \mid a\)，故二者互为相伴元。

定义 13.3.1 不可约元与素元

设 \(R\) 是整环。

非零非单位元 \(c\) 若满足

• \(c=ab \Rightarrow a\) 或 \(b\) 为单位

则称 \(c\) 为不可约元。

非零非单位元 \(p\) 若满足

• \(p \mid ab \Rightarrow p \mid a\) 或 \(p \mid b\)

则称 \(p\) 为素元。

定理 13.3.2

设 \(R\) 是整环，\(p,c \in R\) 为非零元素，则：

• \(p\) 是素元当且仅当主理想 \((p)\) 是非零素理想
• \(c\) 不可约当且仅当 \((c)\) 在所有真主理想中是极大的
• 每个素元都是不可约元
• 若 \(R\) 是主理想整环，则不可约元与素元等价
• 不可约元的因子只有单位元和它的相伴元

证明： 点击查看证明

这里只证两个核心结论。

若 \(p\) 是素元，且 \(ab \in (p)\)，则 \(p \mid ab\)，故 \(p \mid a\) 或 \(p \mid b\)，即 \(a \in (p)\) 或 \(b \in (p)\)，故 \((p)\) 为素理想。

若 \(p=ab\)，则 \(p \mid ab\)，由素元定义得 \(p \mid a\) 或 \(p \mid b\)。设 \(a=px\)，则 \[ p=ab=pxb \] 整环中消去 \(p\) 得 \(1=xb\)，故 \(b\) 为单位，于是 \(p\) 不可约。

在主理想整环中，每个素理想都由某个元生成，所以由“极大理想等价于商环为域”“域是整环”等标准结果即可推出不可约 \(\Leftrightarrow\) 素。

定义 13.3.2 唯一分解整环

整环 \(R\) 若满足：

• 每个非零非单位元都可写成有限个不可约元的乘积
• 这种分解除去因子的次序和相伴元以外是唯一的

则称 \(R\) 为唯一分解整环（UFD）。

引理 13.3.3

若 \(R\) 是主理想环，而 \[ (a_1) \subseteq (a_2) \subseteq \cdots \] 是一条主理想升链，则存在 \(n\) 使得当 \(j \geq n\) 时， \[ (a_j)=(a_n) \]

即主理想环满足主理想的升链条件。

定理 13.3.4

每个主理想整环都是唯一分解整环。

证明思路： 点击查看证明

先证明每个非零非单位元都能分解成不可约元乘积。

若不然，设 \(S\) 为所有不能写成有限个不可约元乘积的非零非单位元集合。取 \(a_1 \in S\)。由于 \((a_1)\) 为真理想，它包含于某个极大主理想 \((c_1)\) 中，而极大主理想的生成元 \(c_1\) 必不可约，且 \(c_1 \mid a_1\)。写 \[ a_1=c_1 a_2 \] 可知 \(a_2\) 仍在 \(S\) 中，且 \[ (a_1) \subsetneq (a_2) \]

如此得到严格主理想升链 \[ (a_1) \subsetneq (a_2) \subsetneq (a_3) \subsetneq \cdots \] 与上一个引理矛盾。

存在性证明后，再利用“主理想整环中不可约元等价于素元”，便可像整数环中那样证明唯一性：若 \[ c_1 \cdots c_m = d_1 \cdots d_n \] 其中各因子都不可约，则 \(c_1\) 是素元，从而整除某个 \(d_j\)，于是 \(c_1\) 与 \(d_j\) 相伴；消去后归纳即可。

定义 13.3.3 欧几里得环与欧几里得整环

设 \(R\) 是交换环，\(\varphi:R \setminus \{0\} \to \mathbb{N}\) 为函数。若满足：

• 若 \(ab \neq 0\)，则 \(\varphi(a) \leq \varphi(ab)\)
• 对任意 \(a,b \in R\) 且 \(b \neq 0\)，存在 \(q,r \in R\) 使得 \[ a=qb+r,\qquad r=0 \text{ 或 } \varphi(r)<\varphi(b) \]

则称 \(R\) 为欧几里得环。

若 \(R\) 同时还是整环，则称为欧几里得整环。

例子：

• \(\mathbb{Z}\)，取 \(\varphi(n)=|n|\)
• 域 \(F\)，取 \(\varphi(x)=1\)
• 域 \(F\) 上的一元多项式环 \(F[x]\)，取 \(\varphi(f)=\deg f\)
• 高斯整数环 \(\mathbb{Z}[i]\)

定理 13.3.5

每个欧几里得环都是含幺主理想环；因此每个欧几里得整环都是唯一分解整环。

证明： 点击查看证明

设 \(I\) 是 \(R\) 的非零理想，从中取非零元素 \(a\) 使得 \(\varphi(a)\) 最小。

对任意 \(b \in I\)，由欧几里得除法存在 \(q,r \in R\) 使 \[ b=qa+r,\qquad r=0 \text{ 或 } \varphi(r)<\varphi(a) \] 而 \(r=b-qa \in I\)。若 \(r \neq 0\)，则与 \(a\) 的极小性矛盾，所以 \(r=0\)，即 \(b \in (a)\)。

因此 \(I \subseteq (a)\)，反过来 \((a) \subseteq I\) 显然，所以 \(I=(a)\)，故 \(R\) 是主理想环。

再由定理 13.3.4 知欧几里得整环必为 UFD。

定义 13.3.4 最大公因数

设 \(X \subseteq R\) 非空。若 \(d \in R\) 满足：

• 对所有 \(a \in X\)，有 \(d \mid a\)
• 对所有 \(c \in R\)，若 \(c \mid a\) 对每个 \(a \in X\) 都成立，则 \(c \mid d\)

则称 \(d\) 为 \(X\) 的一个最大公因数。

若若干元素的一个最大公因数与 \(1_R\) 相伴，则称这些元素互素。

定理 13.3.6

设 \(a_1,\dots,a_n \in R\)，则：

• 若 \(d = r_1 a_1 + \cdots + r_n a_n\) 且 \[ (d)=(a_1)+\cdots+(a_n) \] 则 \(d\) 是 \(a_1,\dots,a_n\) 的最大公因数
• 若 \(R\) 是主理想环，则任意有限个元素都存在最大公因数，并且每个最大公因数都可表示为 \[ r_1 a_1 + \cdots + r_n a_n \]
• 若 \(R\) 是唯一分解整环，则任意有限个非零元素都存在最大公因数

这就是 Bézout 关系在主理想环中的一般形式。

证明： 点击查看证明

先证第一条。由 \[ (d)=(a_1)+\cdots+(a_n) \] 可知每个 \(a_i \in (d)\)，故 \[ d \mid a_i \qquad (1 \leq i \leq n) \] 于是 \(d\) 是一个公因数。若 \(c\) 也是公因数，即 \(c \mid a_i\) 对每个 \(i\) 都成立，那么每个 \(a_i \in (c)\)，从而 \[ (a_1)+\cdots+(a_n) \subseteq (c) \] 故 \(d \in (c)\)，即 \(c \mid d\)。因此 \(d\) 是最大公因数。

若 \(R\) 是主理想环，则 \[ (a_1)+\cdots+(a_n)=(d) \] 对某个 \(d \in R\) 成立。由第一条，\(d\) 是 \(a_1,\dots,a_n\) 的一个最大公因数，并且由于 \(d \in (a_1)+\cdots+(a_n)\)，可写成 \[ d=r_1 a_1+\cdots+r_n a_n \]

若 \(e\) 是另一个最大公因数，则 \(e \mid a_i\) 对每个 \(i\) 都成立，所以 \[ (a_1)+\cdots+(a_n) \subseteq (e) \] 即 \(d \in (e)\)，故 \(e \mid d\)。另一方面，\(d\) 也是公因数，而 \(e\) 是最大公因数，所以 \(d \mid e\)。于是 \(e \in (d)=(a_1)+\cdots+(a_n)\)，因此 \(e\) 也可表示成 \[ r_1 a_1+\cdots+r_n a_n \] 的形式。

最后设 \(R\) 是 UFD，且 \(a_1,\dots,a_n\) 都非零。把它们分解成同一组两两不相伴的素元的幂： \[ a_j=u_j p_1^{e_{1j}} \cdots p_m^{e_{mj}},\qquad u_j \in U(R) \] 令 \[ d=p_1^{\min_j e_{1j}} \cdots p_m^{\min_j e_{mj}} \] 则显然 \(d \mid a_j\) 对所有 \(j\) 成立。若 \(c\) 是任一公因数，则 \(c\) 中每个素元的指数都不超过各个 \(e_{ij}\)，因而不超过对应的最小值，所以 \(c \mid d\)。因此 \(d\) 是最大公因数。

定义 13.4 分式环和局部化

设 \(R\) 是交换环。

若非空子集 \(S \subseteq R\) 满足：

• 对任意 \(a,b \in S\)，有 \(ab \in S\)

则称 \(S\) 为乘法闭集（multiplicative subset）。

典型例子：

• 含幺环中全体单位元
• 整环中所有非零元素
• 交换环中某个素理想 \(P\) 的补集 \(R \setminus P\)

定理 13.4.1

设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的乘法闭集。在 \(R \times S\) 上定义关系 \[ (r,s)\sim (r',s') \iff \exists t \in S,\ t(rs'-r's)=0 \] 则 \(\sim\) 为等价关系。

记等价类为 \(\dfrac{r}{s}\)，全体等价类构成的集合记为 \(S^{-1}R\)。

若 \(R\) 无零因子且 \(0 \notin S\)，则上式可简化为 \[ \frac{r}{s}=\frac{r'}{s'} \iff rs'=r's \]

证明： 点击查看证明

自反性显然，因为对任意 \((r,s)\) 与任意 \(t \in S\)，都有 \[ t(rs-rs)=0 \]

对称性也显然。若 \((r,s) \sim (r',s')\)，则存在 \(t \in S\) 使 \[ t(rs'-r's)=0 \] 于是 \[ t(r's-rs')=0 \] 故 \((r',s') \sim (r,s)\)。

对传递性，设 \((r,s) \sim (r',s')\) 与 \((r',s') \sim (r'',s'')\)。则存在 \(t,u \in S\) 使 \[ t(rs'-r's)=0,\qquad u(r's''-r''s')=0 \] 分别乘以 \(us''\) 与 \(ts\)，得 \[ tus''(rs'-r's)=0,\qquad tus(r's''-r''s')=0 \] 两式相加可得 \[ tus'(rs''-r''s)=0 \] 而 \(tus' \in S\)，故 \((r,s) \sim (r'',s'')\)。

若 \(R\) 无零因子且 \(0 \notin S\)，那么 \[ t(rs'-r's)=0 \] 必推出 \(rs'-r's=0\)，故等价关系可简化为 \[ rs'=r's \] 反过来若 \(rs'=r's\)，则任取 \(t \in S\) 都有 \(t(rs'-r's)=0\)，所以二者等价。

定理 13.4.2

在 \(S^{-1}R\) 上定义 \[ \frac{r}{s}+\frac{r'}{s'}=\frac{rs'+r's}{ss'},\qquad \frac{r}{s}\cdot\frac{r'}{s'}=\frac{rr'}{ss'} \] 则：

• \(S^{-1}R\) 是含幺交换环
• 若 \(R\) 是无零因子环且 \(0 \notin S\)，则 \(S^{-1}R\) 也是整环
• 若 \(R\) 是整环，\(S=R \setminus \{0\}\)，则 \(S^{-1}R\) 是域

此时 \(S^{-1}R\) 称为 \(R\) 关于 \(S\) 的分式环或局部化。

特别地，整环 \(R\) 关于全体非零元素的局部化称为它的商域。

若 \(S\) 取 \(R\) 中所有非零且非零因子的元素，则得到 \(R\) 的完全分式环。

证明： 点击查看证明

先证运算良定义。设 \[ \frac{r}{s}=\frac{r_1}{s_1},\qquad \frac{r'}{s'}=\frac{r_1'}{s_1'} \] 则存在 \(t,u \in S\) 使 \[ t(rs_1-r_1s)=0,\qquad u(r's_1'-r_1's')=0 \] 于是 \[ \begin{aligned} &tu\Bigl((rs'+r's)s_1s_1'-(r_1s_1'+r_1's_1)ss'\Bigr) \\ =\;&tu\,s's_1'(rs_1-r_1s)+tu\,ss_1(r's_1'-r_1's')=0 \end{aligned} \] 故加法良定义。

同理， \[ \begin{aligned} &tu\bigl(rr's_1s_1'-r_1r_1'ss'\bigr) \\ =\;&tu\,r's_1'(rs_1-r_1s)+tu\,r_1s(r's_1'-r_1's')=0 \end{aligned} \] 故乘法良定义。

环公理由代表元公式直接继承。加法零元是任意 \(\dfrac{0}{s}\) 的公共等价类，加法逆元为 \[ \frac{-r}{s} \] 乘法单位元是任意 \[ \frac{s}{s}\qquad (s \in S) \] 所表示的公共等价类。

若 \(R\) 无零因子且 \(0 \notin S\)，设 \[ \frac{r}{s}\frac{r'}{s'}=0 \] 则 \[ \frac{rr'}{ss'}=\frac{0}{ss'} \] 按上一条的判别，得 \[ rr'ss'=0 \] 而 \(s,s' \neq 0\)，故 \(rr'=0\)，从而 \(r=0\) 或 \(r'=0\)。于是 \[ \frac{r}{s}=0 \quad \text{或} \quad \frac{r'}{s'}=0 \] 所以 \(S^{-1}R\) 也是整环。

若 \(R\) 是整环且 \(S=R \setminus \{0\}\)，则任取非零元素 \(\dfrac{r}{s}\)，由整环情形知 \(r \neq 0\)，而 \(r \in S\)，所以 \[ \frac{r}{s}\cdot \frac{s}{r}=1 \] 故每个非零元素都可逆，\(S^{-1}R\) 是域。

定理 13.4.3

自然映射 \[ \varphi_S:R \to S^{-1}R,\qquad r \mapsto \frac{rs}{s}\ (s \in S) \] 是良定义的环同态，并满足：

• 对任意 \(s \in S\)，\(\varphi_S(s)\) 在 \(S^{-1}R\) 中可逆
• 若 \(0 \notin S\) 且 \(S\) 中没有零因子，则 \(\varphi_S\) 为单同态
• 若 \(R\) 含幺且 \(S\) 全由单位元组成，则 \(\varphi_S\) 是同构

因此整环总可以嵌入其商域。

证明： 点击查看证明

取任意固定的 \(s_0 \in S\)，定义 \[ \varphi_S(r)=\frac{rs_0}{s_0} \] 若改用 \(t \in S\)，则 \[ (rs_0)t-(rt)s_0=0 \] 故 \[ \frac{rs_0}{s_0}=\frac{rt}{t} \] 因此这个定义与分母的选择无关，这正是题中所写的 \[ r \mapsto \frac{rs}{s} \]

对加法， \[ \varphi_S(r+r')=\frac{(r+r')s_0}{s_0} =\frac{rs_0+r's_0}{s_0} =\varphi_S(r)+\varphi_S(r') \] 对乘法， \[ \varphi_S(r)\varphi_S(r') =\frac{rr's_0^2}{s_0^2} =\frac{rr's_0}{s_0} =\varphi_S(rr') \] 故 \(\varphi_S\) 是环同态。

若 \(s \in S\)，则 \[ \varphi_S(s)=\frac{ss_0}{s_0} \] 其逆元可取为 \[ \frac{s_0}{ss_0} \] 因此 \(\varphi_S(s)\) 在 \(S^{-1}R\) 中可逆。

若 \(0 \notin S\) 且 \(S\) 中没有零因子，设 \(\varphi_S(r)=0\)。则 \[ \frac{rs_0}{s_0}=\frac{0}{s_0} \] 于是存在 \(t \in S\) 使 \[ trs_0=0 \] 由于 \(t,s_0\) 都不是零因子，只能有 \(r=0\)，故 \(\varphi_S\) 为单同态。

若 \(R\) 含幺且 \(S\) 全由单位元组成，定义 \[ \psi:S^{-1}R \to R,\qquad \psi\left(\frac{r}{s}\right)=rs^{-1} \] 若 \(\dfrac{r}{s}=\dfrac{r'}{s'}\)，则存在 \(t \in S\) 使 \[ t(rs'-r's)=0 \] 而 \(t\) 是单位元，所以 \[ rs'=r's \] 进而 \[ rs^{-1}=r's'^{-1} \] 故 \(\psi\) 良定义。显然 \[ \psi(\varphi_S(r))=r \] 且任意 \(\dfrac{r}{s}\) 都可写成 \[ \frac{r}{s}=\varphi_S(rs^{-1}) \] 故 \(\varphi_S\) 为同构。

定理 13.4.4 局部化的泛性质

设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的乘法闭集，\(T\) 是含幺交换环，\(f:R \to T\) 为环同态，且对每个 \(s \in S\)，\(f(s)\) 都是 \(T\) 中单位元，则存在唯一环同态 \[ \bar f:S^{-1}R \to T \] 使得 \[ \bar f \circ \varphi_S = f \]

即下图交换： \[ R \xrightarrow{\varphi_S} S^{-1}R \xrightarrow{\bar f} T \]

这条泛性质唯一刻画了局部化。

证明： 点击查看证明

定义 \[ \bar f\left(\frac{r}{s}\right)=f(r)f(s)^{-1} \] 需要验证其良定义。

若 \(\frac{r}{s}=\frac{r'}{s'}\)，则存在 \(t \in S\) 使 \[ t(rs'-r's)=0 \] 对两边施加 \(f\)，得 \[ f(t)\bigl(f(r)f(s')-f(r')f(s)\bigr)=0 \] 而 \(f(t)\) 可逆，所以 \[ f(r)f(s')=f(r')f(s) \] 再右乘 \(f(s)^{-1}f(s')^{-1}\) 即得 \[ f(r)f(s)^{-1}=f(r')f(s')^{-1} \] 因此 \(\bar f\) 良定义。

唯一性来自：在 \(S^{-1}R\) 中每个元素都可写为 \[ \frac{r}{s}=\varphi_S(r)\varphi_S(s)^{-1} \] 故任何满足交换条件的同态都被强制确定。

定理 13.4.5 局部化中的理想与素理想

设 \(S\) 是交换环 \(R\) 的乘法闭集，则：

• 若 \(I \triangleleft R\)，则 \(S^{-1}I\) 是 \(S^{-1}R\) 的理想
• \(S^{-1}R\) 的每个理想都可以写成某个 \(S^{-1}I\) 的形式
• \(R\) 中与 \(S\) 不相交的素理想，与 \(S^{-1}R\) 的素理想一一对应

特别地，若 \(P\) 是素理想，取 \(S=R \setminus P\)，则局部化 \[ R_P=(R \setminus P)^{-1}R \] 称为 \(R\) 在 \(P\) 处的局部化，而 \(R_P\) 是一个局部环，其唯一极大理想为 \[ P_P=(R \setminus P)^{-1}P \]

证明： 点击查看证明

记自然映射为 \(\varphi=\varphi_S\)。

先证第一条。若 \(x/t,\ y/u \in S^{-1}I\)，其中 \(x,y \in I\)，则 \[ \frac{x}{t}-\frac{y}{u}=\frac{xu-yt}{tu} \in S^{-1}I \] 因为 \(xu-yt \in I\)。若再取任意 \(\dfrac{r}{s} \in S^{-1}R\)，则 \[ \frac{r}{s}\frac{x}{t}=\frac{rx}{st} \in S^{-1}I \] 故 \(S^{-1}I\) 是 \(S^{-1}R\) 的理想。

再证第二条。若 \(J \triangleleft S^{-1}R\)，令 \[ I=\varphi^{-1}(J) \] 则 \(I \triangleleft R\)。若 \(\dfrac{x}{t} \in S^{-1}I\)，则 \(\varphi(x) \in J\)，而按定理 13.4.3， \[ \frac{x}{t}=\varphi(x)\varphi(t)^{-1} \] 故 \(\dfrac{x}{t} \in J\)，所以 \(S^{-1}I \subseteq J\)。

反过来，若 \(\dfrac{y}{u} \in J\)，由于 \(\varphi(u)\) 可逆，且 \(J\) 是理想， \[ \varphi(y)=\frac{y}{u}\,\varphi(u) \in J \] 从而 \(y \in I\)，故 \(\dfrac{y}{u} \in S^{-1}I\)。于是 \[ J=S^{-1}I \]

现证素理想对应。若 \(Q\) 是 \(S^{-1}R\) 的素理想，则其收缩 \[ P=\varphi^{-1}(Q) \] 是 \(R\) 的素理想：若 \(ab \in P\)，则 \[ \varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab) \in Q \] 由 \(Q\) 的素性知 \(\varphi(a) \in Q\) 或 \(\varphi(b) \in Q\)，即 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)。又对任意 \(s \in S\)，\(\varphi(s)\) 是单位元，不可能落在真理想 \(Q\) 中，所以 \[ P \cap S=\varnothing \]

反之，若 \(P\) 是与 \(S\) 不相交的素理想，则 \(S^{-1}P\) 是素理想。设 \[ \frac{a}{u}\frac{b}{v} \in S^{-1}P \] 则存在 \(p \in P\) 及 \(w,t \in S\) 使 \[ t(wab-puv)=0 \] 于是 \[ twab=tpuv \in P \] 由于 \(tw \in S\) 且 \(P \cap S=\varnothing\)，由 \(P\) 的素性先得 \(ab \in P\)，再得 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)。因此 \[ \frac{a}{u} \in S^{-1}P \quad \text{或} \quad \frac{b}{v} \in S^{-1}P \] 故 \(S^{-1}P\) 为素理想。

上一步已知局部化中的每个理想都等于某个收缩理想的扩张，所以对任意素理想 \(Q\) 都有 \[ Q=S^{-1}\varphi^{-1}(Q) \] 另一方面，若 \(r \in \varphi^{-1}(S^{-1}P)\)，取固定 \(s_0 \in S\)，则 \[ \varphi(r)=\frac{rs_0}{s_0}=\frac{p}{t} \] 对某个 \(p \in P,\ t \in S\) 成立。于是存在 \(u \in S\) 使 \[ u(rs_0t-ps_0)=0 \] 即 \[ (us_0t)r=us_0p \in P \] 而 \(us_0t \in S\) 与 \(P\) 不相交，所以由素性得 \(r \in P\)。这说明 \[ \varphi^{-1}(S^{-1}P)=P \] 因此扩张与收缩互为逆映射，得到所述一一对应。

最后令 \(S=R \setminus P\)。此时与 \(S\) 不相交的素理想恰是包含于 \(P\) 的素理想，因此 \(R_P\) 的每个极大理想都对应于某个包含在 \(P\) 内的素理想，所以都包含于 \[ P_P=S^{-1}P \] 而 \(P_P\) 自身是素理想，故是真理想。若 \(M\) 是 \(R_P\) 的极大理想，则 \[ M \subseteq P_P \] 由极大性只能有 \(M=P_P\)。所以 \(R_P\) 是局部环，且其唯一极大理想就是 \(P_P\)。

定义 13.5 多项式环与形式幂级数环

定义 13.5.1 一元与多元多项式环

设 \(R\) 是环。

把所有有限支撑序列 \[ (a_0,a_1,a_2,\dots),\qquad a_i \in R \] 组成的集合记作 \(R[x]\)，定义加法与乘法为 \[ (a_0,a_1,\dots)+(b_0,b_1,\dots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots) \] 以及 \[ (a_0,a_1,\dots)(b_0,b_1,\dots)=(c_0,c_1,\dots),\quad c_n=\sum_{i+j=n} a_i b_j \] 则 \(R[x]\) 成为环。

若 \(R\) 含幺，记 \[ x=(0,1_R,0,0,\dots) \] 则每个元素可唯一写为 \[ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \] 这就是通常意义下的一元多项式。

类似地可定义 \(R[x_1,\dots,x_n]\)。若 \(R\) 含幺，则其中每个多项式都可唯一表示为有限和 \[ \sum a_{i_1,\dots,i_n} x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} \]

定理 13.5.1

设 \(R\) 是环，则：

• \(R[x]\) 是环；若 \(R\) 交换，则 \(R[x]\) 交换
• 若 \(R\) 含幺，则 \(R[x]\) 含幺且单位元仍为常数多项式 \(1_R\)
• 若 \(R\) 无零因子，则 \(R[x]\) 也无零因子
• 多元情形 \(R[x_1,\dots,x_n]\) 同样成立

证明： 点击查看证明

有限支撑序列在逐项加法下显然构成阿贝尔群。对乘法，若 \[ f=(a_0,a_1,\dots),\qquad g=(b_0,b_1,\dots) \] 都只有有限多个非零项，则对每个固定的 \(n\)， \[ c_n=\sum_{i+j=n} a_i b_j \] 只是有限和，所以乘法是良定义的。

若再取 \(h=(d_0,d_1,\dots)\)，则 \((fg)h\) 与 \(f(gh)\) 的第 \(n\) 个分量都等于 \[ \sum_{i+j+k=n} a_i b_j d_k \] 故乘法满足结合律；分配律也由同样的系数比较得到。因此 \(R[x]\) 是环。若 \(R\) 交换，则每个 \(c_n\) 中的乘积次序可交换，故 \(R[x]\) 也交换。

若 \(R\) 含幺，则 \[ 1_R=(1_R,0,0,\dots) \] 满足与任意多项式相乘仍得原多项式，所以它是 \(R[x]\) 的单位元。

若 \(R\) 无零因子，取非零多项式 \[ f=a_m x^m+\cdots,\qquad g=b_n x^n+\cdots \] 其中 \(a_m,b_n \neq 0\) 且 \(m=\deg f,\ n=\deg g\)。则 \(fg\) 的 \(x^{m+n}\) 项系数是 \[ a_m b_n \neq 0 \] 故 \(fg \neq 0\)，所以 \(R[x]\) 无零因子。

多元情形可用归纳法处理，因为 \[ R[x_1,\dots,x_n]=(R[x_1,\dots,x_{n-1}])[x_n] \] 于是上面的结论逐步传递到任意有限多个变量。

定理 13.5.2 多项式环的泛性质

设 \(R,S\) 是含幺交换环，\(\varphi:R \to S\) 是满足 \(\varphi(1_R)=1_S\) 的环同态，且 \(s_1,\dots,s_n \in S\)。则存在唯一环同态 \[ \psi:R[x_1,\dots,x_n] \to S \] 使得

• \(\psi|_R=\varphi\)
• \(\psi(x_i)=s_i \quad (1 \leq i \leq n)\)

这条性质唯一刻画了多项式环。

由此得到代入同态（evaluation / substitution homomorphism）： \[ f \mapsto \varphi f(s_1,\dots,s_n) \]

证明： 点击查看证明

若 \[ f=\sum a_{i_1,\dots,i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} \] 则自然定义 \[ \psi(f)=\sum \varphi(a_{i_1,\dots,i_n}) s_1^{i_1}\cdots s_n^{i_n} \] 这一定义由于多项式表示唯一而是良定义的。

它保持加法和乘法，是直接计算的结果。唯一性则来自：任何满足条件的同态都必须把每个单项式 \[ a x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} \] 送到 \[ \varphi(a) s_1^{i_1}\cdots s_n^{i_n} \] 因而被完全决定。

推论 13.5.3

对任意 \(1 \leq k < n\)，有自然同构 \[ R[x_1,\dots,x_k][x_{k+1},\dots,x_n] \cong R[x_1,\dots,x_n] \] 以及 \[ R[x_{k+1},\dots,x_n][x_1,\dots,x_k] \cong R[x_1,\dots,x_n] \]

因此多元多项式环可以看作“逐个加入不定元”的结果。

定义 13.5.2 形式幂级数环

设 \(R\) 是环，记 \(R[[x]]\) 为所有序列 \[ (a_0,a_1,a_2,\dots),\qquad a_i \in R \] 的集合。定义加法与乘法为 \[ (a_0,a_1,\dots)+(b_0,b_1,\dots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots) \] 以及 \[ (a_0,a_1,\dots)(b_0,b_1,\dots)=(c_0,c_1,\dots),\quad c_n=\sum_{i=0}^{n} a_i b_{n-i} \] 则 \(R[[x]]\) 是一个环，称为形式幂级数环。

写作 \[ \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i \] 只是记号，它不涉及任何收敛性概念。

显然 \(R[x] \subseteq R[[x]]\)。

若 \(R\) 交换 / 含幺 / 无零因子 / 为整环，则 \(R[[x]]\) 也分别具有对应性质。

定理 13.5.4

设 \(R\) 是含幺环，\(f=\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i \in R[[x]]\)，则：

• \(f\) 在 \(R[[x]]\) 中可逆，当且仅当常数项 \(a_0\) 在 \(R\) 中可逆
• 若 \(a_0\) 在 \(R\) 中不可约，则 \(f\) 在 \(R[[x]]\) 中不可约

特别地，若 \(R\) 是除环，则 \(R[[x]]\) 中的单位恰好是常数项非零的幂级数。

若 \(R\) 是域，则 \((x)\) 恰好是 \(R[[x]]\) 的全体非单位元，故 \(R[[x]]\) 是局部环，且唯一极大理想为 \((x)\)。

证明： 点击查看证明

若 \(f\) 有逆元 \(g=\sum b_i x^i\)，则 \[ fg=1 \] 比较常数项得 \[ a_0 b_0 = 1 \] 故 \(a_0\) 可逆。

反之，若 \(a_0\) 可逆，设 \[ g=\sum_{i=0}^{\infty} b_i x^i \] 满足 \(fg=1\)。比较各次幂系数可递归求得： \[ a_0 b_0 =1,\qquad a_0 b_1 + a_1 b_0 =0,\qquad a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 =0,\ \dots \] 由于 \(a_0\) 可逆，\(b_0,b_1,b_2,\dots\) 都能依次唯一解出，所以逆元存在。

定义 13.6 多项式环中的因式分解

定义 13.6.1 次数

设 \[ f=\sum a_{i_1,\dots,i_n} x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} \in R[x_1,\dots,x_n] \] 非零。

若某项 \(a_{i_1,\dots,i_n} x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}\) 中 \(a_{i_1,\dots,i_n}\neq 0\)，则其总次数为 \[ i_1+\cdots+i_n \] 而 \(f\) 的总次数定义为所有出现项总次数的最大值，记为 \(\deg f\)。

对一元多项式 \[ f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0,\qquad a_n \neq 0 \] 则 \(\deg f=n\)，\(a_n\) 称为首项系数。

规定 \[ \deg 0 = -\infty \] 并约定 \[ \max\{-\infty,m\}=m,\qquad -\infty + m = -\infty \]

定理 13.6.1

设 \(R\) 是环，\(f,g \in R[x_1,\dots,x_n]\)，则：

• \(\deg(f+g) \leq \max\{\deg f,\deg g\}\)
• \(\deg(fg) \leq \deg f + \deg g\)
• 若 \(R\) 无零因子，则 \[ \deg(fg)=\deg f+\deg g \]

特别地，在一元情形，若 \(g\) 的首项系数是单位元或至少不是零因子，则乘积次数相加。

证明： 点击查看证明

设 \[ f=\sum_\alpha a_\alpha x^\alpha,\qquad g=\sum_\beta b_\beta x^\beta \] 其中 \(|\alpha|,\ |\beta|\) 表示对应单项式的总次数。

在 \(f+g\) 中，出现的每一项都来自 \(f\) 或 \(g\) 中原有的单项式，因此其总次数不超过 \[ \max\{\deg f,\deg g\} \] 故 \[ \deg(f+g) \leq \max\{\deg f,\deg g\} \]

在乘积 \(fg\) 中，每一项都来自某个 \(a_\alpha x^\alpha\) 与某个 \(b_\beta x^\beta\) 的乘积，而该项总次数为 \[ |\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta| \leq \deg f+\deg g \] 因此 \[ \deg(fg) \leq \deg f+\deg g \]

若 \(R\) 无零因子，且 \(f,g \neq 0\)，记 \(f_m,\ g_n\) 分别为 \(f,g\) 的最高次数齐次部分，其中 \[ m=\deg f,\qquad n=\deg g \] 则 \(fg\) 的次数恰为 \(m+n\) 的部分正是 \[ f_m g_n \] 由定理 13.5.1，\(R[x_1,\dots,x_n]\) 仍无零因子，所以 \(f_m g_n \neq 0\)，于是 \[ \deg(fg)=m+n \]

一元情形下，若 \(f,g \neq 0\)，设首项分别为 \(a_m x^m,\ b_n x^n\)。则 \(fg\) 的 \(x^{m+n}\) 项系数为 \(a_m b_n\)。只要 \(b_n\) 是单位元，或至少不是零因子，这个系数就非零，因此 \[ \deg(fg)=m+n \]

定理 13.6.2 带余除法

设 \(R\) 是含幺环，\(f,g \in R[x]\) 是非零多项式，并且 \(g\) 的首项系数在 \(R\) 中可逆，则存在唯一 \(q,r \in R[x]\) 使得 \[ f=qg+r,\qquad \deg r < \deg g \]

证明思路： 点击查看证明

存在性用 \(\deg f\) 归纳。

若 \(\deg f < \deg g\)，取 \(q=0,r=f\) 即可。

若 \(\deg f = n \geq m = \deg g\)，设 \(f\) 的首项为 \(a_n x^n\)，\(g\) 的首项为 \(b_m x^m\)，其中 \(b_m\) 可逆。令 \[ h=a_n b_m^{-1} x^{n-m} \] 则 \(f-hg\) 的次数严格小于 \(n\)。对 \(f-hg\) 用归纳假设即可。

唯一性来自：若 \[ f=q_1 g+r_1=q_2 g+r_2,\qquad \deg r_1,\deg r_2 < \deg g \] 则 \[ (q_1-q_2)g=r_2-r_1 \] 右侧次数小于 \(\deg g\)，左侧若 \(q_1 \neq q_2\) 则次数至少为 \(\deg g\)，矛盾。

推论 13.6.3 余式定理

设 \(R\) 是含幺环，\(f(x) \in R[x]\)，\(c \in R\)，则存在唯一 \(q(x) \in R[x]\) 使得 \[ f(x)=q(x)(x-c)+f(c) \]

因此：

• \(c\) 是 \(f\) 的根 \(\iff f(c)=0 \iff x-c \mid f(x)\)

若 \(F\) 是域，则 \(F[x]\) 是欧几里得整环，因此也是主理想整环与唯一分解整环；其单位恰好是非零常数多项式。

定理 13.6.4 根与根的个数

设 \(D\) 是整环，\(E\) 是包含 \(D\) 的整环，\(f \in D[x]\) 为次数 \(n\) 的非零多项式，则：

• \(c \in E\) 是 \(f\) 的根，当且仅当 \(x-c \mid f\)
• \(f\) 在 \(E\) 中至多有 \(n\) 个不同的根

证明： 点击查看证明

第一条由余式定理立即得到。

对第二条作归纳。若 \(c_1\) 是一个根，则 \[ f=(x-c_1)g \] 其中 \(\deg g=n-1\)。任何与 \(c_1\) 不同的其他根也必是 \(g\) 的根，因此不同根的个数不超过 \(1+(n-1)=n\)。

定理 13.6.5 有理根判别与形式导数

设 \(D\) 是 UFD，\(F\) 是其商域。若 \[ f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0 \in D[x] \] 且 \(\dfrac{c}{d} \in F\) 是 \(f\) 的一个根，其中 \((c,d)=1\)，则

• \(c \mid a_0\)
• \(d \mid a_n\)

这就是有理根判别法。

另一方面，对 \[ f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x + a_0 \] 定义形式导数 \[ f'(x)=n a_n x^{n-1}+\cdots+2a_2 x + a_1 \]

它满足：

• \((cf)'=cf'\)
• \((f+g)'=f'+g'\)
• \((fg)'=f'g+fg'\)
• \((g^n)'=ng^{n-1}g'\)

证明： 点击查看证明

由 \[ f\left(\frac{c}{d}\right)=0 \] 乘以 \(d^n\) 得 \[ a_n c^n+a_{n-1}c^{n-1}d+\cdots+a_1 c d^{n-1}+a_0 d^n=0 \] 移项可得 \[ a_n c^n=-d\bigl(a_{n-1}c^{n-1}+\cdots+a_1 c d^{n-2}+a_0 d^{n-1}\bigr) \] 故 \[ d \mid a_n c^n \] 又因 \((c,d)=1\)，所以 \((c^n,d)=1\)；在 UFD 中由 Euclid 引理可知 \[ d \mid a_n \]

同理，把上式改写为 \[ a_0 d^n=-c\bigl(a_n c^{n-1}+a_{n-1}c^{n-2}d+\cdots+a_1 d^{n-1}\bigr) \] 故 \[ c \mid a_0 d^n \] 再由 \((c,d)=1\) 得 \[ c \mid a_0 \] 这就证明了有理根判别法。

形式导数的前两条 \[ (cf)'=cf',\qquad (f+g)'=f'+g' \] 都由逐项求导立即得到。

设 \[ f=\sum_i a_i x^i,\qquad g=\sum_j b_j x^j \] 则 \((fg)'\) 中 \(x^{k-1}\) 的系数为 \[ k\sum_{i+j=k} a_i b_j \] 而 \(f'g+fg'\) 中 \(x^{k-1}\) 的系数为 \[ \sum_{i+j=k} i a_i b_j+\sum_{i+j=k} j a_i b_j =k\sum_{i+j=k} a_i b_j \] 故 \[ (fg)'=f'g+fg' \]

最后对 \(n\) 作归纳。\(n=1\) 时显然成立。若已知 \[ (g^n)'=ng^{n-1}g' \] 则由乘法法则， \[ (g^{n+1})'=(g^n g)'=(g^n)'g+g^n g' = ng^n g'+g^n g'=(n+1)g^n g' \] 故 \[ (g^n)'=ng^{n-1}g' \] 对一切正整数 \(n\) 成立。

定理 13.6.6 重根判别

设 \(D \subseteq E\) 都是整环，\(f \in D[x]\)，\(c \in E\)。

• \(c\) 是 \(f\) 的重根，当且仅当 \[ f(c)=0,\qquad f'(c)=0 \]
• 若 \(D\) 是域且 \((f,f')=1\)，则 \(f\) 没有重根
• 若 \(D\) 是域、\(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约，并且 \(E\) 中含有 \(f\) 的根，则 \(f\) 没有重根当且仅当 \(f' \neq 0\)

证明： 点击查看证明

若 \(c\) 是 \(f\) 的重根，则可写 \[ f=(x-c)^m g,\qquad m \geq 2,\ g(c) \neq 0 \] 于是显然 \(f(c)=0\)。再由乘法法则， \[ f'=m(x-c)^{m-1}g+(x-c)^m g' \] 故 \(f'(c)=0\)。

反过来，若 \[ f(c)=0,\qquad f'(c)=0 \] 则由余式定理可写 \[ f=(x-c)g \] 对两边求导，得 \[ f'=g+(x-c)g' \] 代入 \(x=c\) 得 \[ 0=f'(c)=g(c) \] 所以 \(x-c \mid g\)，从而 \[ (x-c)^2 \mid f \] 即 \(c\) 是重根。

若 \(D\) 是域且 \((f,f')=1\)，则因 \(D[x]\) 是主理想整环，存在 \(u,v \in D[x]\) 使 \[ uf+vf'=1 \] 若 \(c\) 是某个扩张整环中的重根，则上一步说明 \[ f(c)=f'(c)=0 \] 代入上式得到 \(0=1\)，矛盾。因此 \(f\) 没有重根。

最后设 \(D\) 是域，\(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约，并且 \(E\) 中有一个根 \(c\)。若 \(f' \neq 0\)，则 \[ \deg f' < \deg f \] 而 \(f\) 不可约，所以 \(f\) 与 \(f'\) 的最大公因数只能是单位元，即 \[ (f,f')=1 \] 于是由上一条知 \(f\) 没有重根。

反之，若 \(f'=0\)，则对任意根 \(c\) 都有 \[ f(c)=0,\qquad f'(c)=0 \] 由第一条可知 \(c\) 是重根。因此在这个情形下，\(f\) 没有重根当且仅当 \(f' \neq 0\)。

定义 13.6.2 内容与本原多项式

设 \(D\) 是 UFD，\(f=a_n x^n+\cdots+a_0 \in D[x]\) 非零。

\(f\) 的各系数的一个最大公因数称为 \(f\) 的内容，记为 \(C(f)\)。

若 \(C(f)\) 是单位元，则称 \(f\) 为本原多项式。

显然任意非零多项式都可写成 \[ f=C(f)\,f_1 \] 其中 \(f_1\) 本原。

引理 13.6.7 Gauss 引理

设 \(D\) 是 UFD，\(f,g \in D[x]\)，则 \[ C(fg)=C(f)C(g) \]

特别地，本原多项式的乘积仍是本原多项式。

引理 13.6.8

设 \(D\) 是 UFD，\(F\) 是其商域，\(f\) 是正次数本原多项式，则：

• \(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约 \(\iff\) \(f\) 在 \(F[x]\) 中不可约

也就是说，对本原多项式而言，在系数扩张到商域之后，不可约性不会改变。

定理 13.6.9

若 \(D\) 是唯一分解整环，则 \[ D[x_1,\dots,x_n] \] 也是唯一分解整环。

特别地，若 \(F\) 是域，则 \(F[x_1,\dots,x_n]\) 是 UFD。

证明思路： 点击查看证明

先做一元情形 \(D[x]\)。

对任意非零 \(f \in D[x]\)，写作 \[ f=C(f)\,f_1 \] 其中 \(f_1\) 本原。

由于 \(D\) 是 UFD，\(C(f)\) 可分解为 \(D\) 中不可约元的乘积；而 \(F[x]\) 是 Euclidean domain，因此是 UFD，故 \(f_1\) 在 \(F[x]\) 中可分解为不可约元乘积。

再利用 Gauss 引理，可把这些因子调整为 \(D[x]\) 中的本原不可约多项式，于是得到 \(f\) 在 \(D[x]\) 中的不可约分解。

唯一性也分成两部分：

• 常数内容部分用 \(D\) 中的唯一分解
• 本原部分放到 \(F[x]\) 中，用 \(F[x]\) 的唯一分解，再借助“本原不可约在 \(D[x]\) 与 \(F[x]\) 中等价”拉回

最后利用 \[ D[x_1,\dots,x_n] = D[x_1,\dots,x_{n-1}][x_n] \] 做归纳即可。

定理 13.6.10 Eisenstein 判别法

设 \(D\) 是 UFD，\(F\) 是其商域， \[ f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x + a_0 \in D[x],\qquad n \geq 1 \] 若存在 \(D\) 中不可约元 \(p\)，使得：

• \(p \nmid a_n\)
• \(p \mid a_i \quad (0 \leq i \leq n-1)\)
• \(p^2 \nmid a_0\)

则 \(f\) 在 \(F[x]\) 中不可约。

若进一步 \(f\) 本原，则 \(f\) 在 \(D[x]\) 中也不可约。

证明： 点击查看证明

只需证 \(f\) 在 \(D[x]\) 中不可约。

反设 \[ f(x)=g(x)h(x) \] 其中 \[ g=b_r x^r+\cdots+b_0,\qquad h=c_s x^s+\cdots+c_0,\qquad r,s \geq 1 \]

由 \(p \mid a_0=b_0 c_0\)，不妨设 \(p \mid b_0\)。由 \(p^2 \nmid a_0\)，知 \(p \nmid c_0\)。

设 \(k\) 是使 \(p \nmid b_k\) 的最小下标，则 \(1 \leq k \leq r\)。

考察 \(x^k\) 的系数： \[ a_k=b_0 c_k + b_1 c_{k-1} + \cdots + b_{k-1} c_1 + b_k c_0 \] 根据 \(k\) 的最小性，前 \(k\) 项都被 \(p\) 整除；又由假设 \(p \mid a_k\)，于是 \(p \mid b_k c_0\)。

但 \(p \nmid b_k\) 且 \(p \nmid c_0\)，矛盾。

故 \(f\) 不能分解为两个正次数多项式之积，所以不可约。

一个常用例子是： \[ f(x)=2x^4-6x^3+9x^2-15 \in \mathbb{Z}[x] \] 取 \(p=3\)，满足 Eisenstein 条件，所以 \(f\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约