代数结构与数理逻辑学习笔记4

除特别说明外，本篇默认：

• \(K \subseteq F\) 表示域扩张
• 域同态默认是非零同态，因此自动满足 \(f(1)=1\)
• 讨论伽罗瓦理论时，通常默认扩张是代数扩张

定义 14.1 域扩张

设 \(F\) 是域，\(K\) 是 \(F\) 的子域，则称 \(F\) 为 \(K\) 的扩域（extension field），记作 \[ K \subseteq F \]

此时 \(F\) 也是一个 \(K\)-向量空间，其维数记为 \[ [F:K] \] 称为扩张次数。

若 \([F:K] < \infty\)，则称 \(F/K\) 为有限扩张；否则称为无限扩张。

若 \[ K \subseteq E \subseteq F \] 则称 \(E\) 为 \(K\) 与 \(F\) 之间的中间域。

定理 14.1.1 扩张次数乘法公式

若 \[ K \subseteq E \subseteq F \] 则 \[ [F:K]=[F:E][E:K] \]

特别地，\([F:K]\) 有限当且仅当 \([F:E]\) 与 \([E:K]\) 都有限。

这只是向量空间维数乘法公式在域扩张中的直接应用。

证明： 点击查看证明

设 \[ \{e_1,\dots,e_m\} \] 是 \(E/K\) 的一组基，而 \[ \{f_1,\dots,f_n\} \] 是 \(F/E\) 的一组基。则任意 \(x \in F\) 都可唯一写成 \[ x=\sum_{j=1}^n a_j f_j,\qquad a_j \in E \] 再把每个 \(a_j\) 按 \(E/K\) 的基展开，就得 \[ x=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m c_{ij} e_i f_j,\qquad c_{ij}\in K \] 因此所有 \(e_i f_j\) 张成 \(F\)。

若 \[ \sum_{i,j} c_{ij} e_i f_j=0,\qquad c_{ij}\in K \] 按 \(f_j\) 分组得 \[ \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^m c_{ij}e_i\right)f_j=0 \] 由 \(\{f_j\}\) 的 \(E\)-线性无关性，得对每个 \(j\) 都有 \[ \sum_{i=1}^m c_{ij}e_i=0 \] 再由 \(\{e_i\}\) 的 \(K\)-线性无关性知一切 \(c_{ij}=0\)。故 \[ \{e_i f_j\}_{1\le i\le m,\ 1\le j\le n} \] 是 \(F/K\) 的一组基，于是 \[ [F:K]=mn=[F:E][E:K] \]

有限性的结论立即由该公式得到。

定义 14.1.2 由集合生成的子域与子环

设 \(X \subseteq F\)。

• 包含 \(K \cup X\) 的最小子域记为 \(K(X)\)
• 包含 \(K \cup X\) 的最小子环记为 \(K[X]\)

若 \(X=\{u_1,\dots,u_n\}\)，则写成 \[ K(u_1,\dots,u_n),\qquad K[u_1,\dots,u_n] \]

若 \(X=\{u\}\)，则 \(K(u)\) 称为单扩张。

定理 14.1.2

设 \(F/K\) 是域扩张，则：

• \(K[u]\) 恰为所有形如 \(f(u)\) 的元素，其中 \(f \in K[x]\)
• \(K(u)\) 恰为所有形如 \(\dfrac{f(u)}{g(u)}\) 的元素，其中 \(f,g \in K[x]\) 且 \(g(u)\neq 0\)
• 更一般地，\(K(u_1,\dots,u_n)\) 中每个元素都可写成 \[ \frac{f(u_1,\dots,u_n)}{g(u_1,\dots,u_n)} \] 其中 \(f,g \in K[x_1,\dots,x_n]\)，且分母不为零
• \(K(X)\) 中每个元素实际上只依赖于 \(X\) 的某个有限子集

证明： 点击查看证明

先看 \(K[u]\)。集合 \[ S=\{f(u)\mid f \in K[x]\} \] 显然对加法、乘法封闭，并且包含 \(K\) 与 \(u\)，故是包含 \(K \cup \{u\}\) 的一个子环。反过来，任何包含 \(K\) 与 \(u\) 的子环都必须包含一切 \(f(u)\)，故 \[ K[u]=S \]

再看 \(K(u)\)。设 \[ T=\left\{\frac{f(u)}{g(u)}\ \middle|\ f,g \in K[x],\ g(u)\neq 0\right\} \] 则 \(T\) 对四则运算封闭，因此是一个域；它包含 \(K\) 与 \(u\)，所以 \[ K(u)\subseteq T \] 另一方面，任意包含 \(K\) 与 \(u\) 的子域都含有所有 \(f(u)\)，也含有这些元素的一切非零逆元，故也含有 \(T\)，于是 \[ K(u)=T \]

多元情形同理。所有 \[ f(u_1,\dots,u_n),\qquad f \in K[x_1,\dots,x_n] \] 构成包含 \(K,u_1,\dots,u_n\) 的最小子环，而把分母不为零的这种元素都取逆后得到的正是 \[ K(u_1,\dots,u_n) \]

最后设 \(M\) 为 \(K(X)\) 中所有“只依赖于 \(X\) 的某个有限子集”的元素组成的集合。显然 \(K \subseteq M\) 且 \(X \subseteq M\)。若 \(a,b \in M\)，则 \(a,b\) 分别属于某两个有限子集生成的子域，于是 \[ a\pm b,\ ab,\ a^{-1}\ (a\neq 0) \] 都属于这两个有限子集的并所生成的子域，所以 \(M\) 是一个包含 \(K \cup X\) 的子域。由 \(K(X)\) 的极小性得 \[ K(X)\subseteq M \] 反向包含显然，故二者相等。

定义 14.1.3 代数元与超越元

设 \(u \in F\)。

• 若存在非零多项式 \(f \in K[x]\) 使得 \(f(u)=0\)，则称 \(u\) 关于 \(K\) 代数
• 若不存在这样的非零多项式，则称 \(u\) 关于 \(K\) 超越

若 \(F\) 中每个元素都关于 \(K\) 代数，则称 \(F/K\) 是代数扩张；否则称为超越扩张。

定理 14.1.3

若 \(u\) 关于 \(K\) 超越，则 \[ K(u) \cong K(x) \] 其中 \(x\) 是不定元。

也就是说，超越单扩张与有理函数域没有本质区别。

证明： 点击查看证明

定义映射 \[ \varphi:K(x)\to K(u),\qquad \frac{f(x)}{g(x)}\mapsto \frac{f(u)}{g(u)} \]

由于 \(u\) 超越，任何非零多项式 \(g(x)\) 都满足 \(g(u)\neq 0\)，所以映射良定义。

它显然保持加法和乘法，并且像包含 \(K\) 与 \(u\)，故满射。

若 \[ \varphi\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=0 \] 则 \(f(u)=0\)。由 \(u\) 的超越性可知 \(f=0\)，故核为零，所以 \(\varphi\) 是同构。

定义 14.1.4 极小多项式

若 \(u \in F\) 关于 \(K\) 代数，则存在唯一首一不可约多项式 \[ m_{u,K}(x)\in K[x] \] 满足 \[ m_{u,K}(u)=0 \] 并且对任意 \(g \in K[x]\)， \[ g(u)=0 \iff m_{u,K}\mid g \]

该多项式称为 \(u\) 在 \(K\) 上的极小多项式。

\(u\) 关于 \(K\) 的次数定义为 \[ \deg_K u = \deg m_{u,K} \]

定理 14.1.4 代数单扩张的结构

设 \(u\) 关于 \(K\) 代数，极小多项式为 \(m_{u,K}(x)\)，其次数为 \(n\)，则：

• \(K(u)=K[u]\)
• 有域同构 \[ K(u)\cong K[x]/(m_{u,K}(x)) \]
• \([K(u):K]=n\)
• \(\{1,u,u^2,\dots,u^{n-1}\}\) 是 \(K(u)\) 作为 \(K\)-向量空间的一组基
• 每个元素都可唯一写成 \[ a_0+a_1u+\cdots+a_{n-1}u^{n-1}\qquad (a_i\in K) \]

证明： 点击查看证明

考虑评价同态 \[ \phi:K[x]\to F,\qquad f(x)\mapsto f(u) \] 其像正是 \(K[u]\)。

由极小多项式定义，\(\ker \phi=(m_{u,K}(x))\)，故由第一同构定理， \[ K[x]/(m_{u,K}(x))\cong K[u] \]

由于 \((m_{u,K})\) 是极大理想，商环是域，所以 \(K[u]\) 本身就是域，因此 \[ K[u]=K(u) \]

再由商空间的标准基 \[ 1,\ x,\ x^2,\ \dots,\ x^{n-1} \] 在模掉 \((m_{u,K})\) 后仍线性无关，可得对应的 \[ 1,u,\dots,u^{n-1} \] 构成一组基。

定理 14.1.5 单扩张之间的同构延拓

设 \[ \sigma:K\to L \] 是域同构，\(u\) 是某个扩域中的元素，\(v\) 是某个扩域中的元素。

• 若 \(u\) 超越于 \(K\)，\(v\) 超越于 \(L\)，则 \(\sigma\) 可唯一延拓为 \[ K(u)\cong L(v),\qquad u\mapsto v \]

• 若 \(u\) 代数于 \(K\)，极小多项式为 \(f\)，并且 \(v\) 是 \(\sigma f\) 的一个根，则 \(\sigma\) 可延拓为 \[ K(u)\cong L(v),\qquad u\mapsto v \]

特别地，两个简单代数扩张是否同构，本质上取决于极小多项式是否在同构下对应。

证明： 点击查看证明

若 \(u\) 超越于 \(K\)，\(v\) 超越于 \(L\)，则由定理 14.1.3， \[ K(u)\cong K(x),\qquad L(v)\cong L(x) \] 定义 \[ \tau:K(x)\to L(x),\qquad \frac{f(x)}{g(x)}\mapsto \frac{\sigma f(x)}{\sigma g(x)} \] 便得到一个唯一的域同构，再经由 \[ x\mapsto u,\qquad x\mapsto v \] 转回，即得唯一延拓 \[ K(u)\cong L(v),\qquad u\mapsto v \]

若 \(u\) 代数于 \(K\)，极小多项式为 \(f\)，且 \(v\) 是 \(\sigma f\) 的一个根，则 \(\sigma f\) 仍不可约，所以它正是 \(v\) 在 \(L\) 上的极小多项式。由定理 14.1.4， \[ K(u)\cong K[x]/(f),\qquad L(v)\cong L[x]/(\sigma f) \] 定义 \[ K[x]\to L[x],\qquad \sum a_i x^i \mapsto \sum \sigma(a_i)x^i \] 它把理想 \((f)\) 映到 \((\sigma f)\)，因此诱导出同构 \[ K[x]/(f)\cong L[x]/(\sigma f) \] 在这个同构下，\(x+(f)\) 被送到 \(x+(\sigma f)\)，故对应到 \[ u\mapsto v \] 并且在 \(K\) 上与 \(\sigma\) 一致。

定理 14.1.6 多项式总可以在某个单扩张中有根

设 \(f \in K[x]\) 是次数 \(n\) 的多项式，则存在一个单扩张 \[ K(u)/K \] 使得 \(u\) 是 \(f\) 的根，并且 \[ [K(u):K]\leq n \]

若 \(f\) 不可约，则这里的等号成立，且这个扩张在“保持 \(K\) 不变的同构”意义下唯一。

证明： 点击查看证明

取 \(f\) 的一个不可约因子 \(g \in K[x]\)。由定理 14.1.4，域 \[ K[x]/(g) \] 是一个单扩张；记其中 \(u=x+(g)\)，则 \[ g(u)=0 \] 从而也有 \(f(u)=0\)。又 \[ [K(u):K]=\deg g \leq \deg f \]

若 \(f\) 本身不可约，则 \(g=f\)，所以 \[ [K(u):K]=\deg f \] 并且任何另一个使 \(f\) 有根的单扩张 \(K(v)\) 中，\(v\) 也是 \(f\) 的根。由定理 14.1.5，恒等同构 \(\operatorname{id}_K\) 唯一地延拓为 \[ K(u)\cong K(v),\qquad u\mapsto v \] 故这种扩张在保持 \(K\) 不变的同构意义下唯一。

定理 14.1.7 有限扩张一定代数且有限生成

若 \([F:K]<\infty\)，则：

• \(F/K\) 是代数扩张
• \(F\) 由有限多个元素生成，即存在 \(u_1,\dots,u_m \in F\) 使得 \[ F=K(u_1,\dots,u_m) \]

证明： 点击查看证明

设 \([F:K]=n<\infty\)。任取 \(u \in F\)，则 \[ 1,u,u^2,\dots,u^n \] 是 \(F\) 这个 \(K\)-向量空间中的 \(n+1\) 个向量，必线性相关，所以存在不全为零的 \(a_i \in K\) 使 \[ a_0+a_1u+\cdots+a_nu^n=0 \] 故 \(u\) 关于 \(K\) 代数。于是 \(F/K\) 是代数扩张。

再取 \(F/K\) 的一组有限基 \[ u_1,\dots,u_n \] 由于 \[ K(u_1,\dots,u_n) \] 是包含 \(K\) 与所有 \(u_i\) 的子域，因此也包含它们张成的整个 \(K\)-向量空间，也就是 \(F\)。反向包含显然，所以 \[ F=K(u_1,\dots,u_n) \]

定理 14.1.8 代数元构成子域

设 \(F/K\) 是域扩张，则 \(F\) 中所有关于 \(K\) 代数的元素构成 \(F\) 的一个子域。

因此，任意扩域里都含有一个最大的“相对于 \(K\) 的代数部分”。

证明： 点击查看证明

设 \(u,v \in F\) 都关于 \(K\) 代数。则 \[ K \subseteq K(u) \subseteq K(u,v) \] 而 \(u\) 代数于 \(K\) 意味着 \([K(u):K]<\infty\)；同理，\(v\) 代数于 \(K\)，于是也代数于更大的域 \(K(u)\)，故 \[ [K(u,v):K(u)]<\infty \] 由扩张次数乘法公式， \[ [K(u,v):K]<\infty \]

于是 \(K(u,v)/K\) 是有限扩张。由定理 14.1.7，\(K(u,v)\) 中每个元素都关于 \(K\) 代数，特别地 \[ u\pm v,\ uv,\ u^{-1}\ (u\neq 0) \] 都关于 \(K\) 代数。

因此 \(F\) 中所有关于 \(K\) 代数的元素对加、减、乘、取逆都封闭，故构成 \(F\) 的一个子域。

注记 14.1.9 尺规作图与代数次数

Hungerford 在本节附录中用域扩张处理了经典尺规作图问题。其核心结论是：

• 任意可作实数都代数于 \(\mathbb{Q}\)
• 若实数 \(c\) 可尺规作图，则 \[ [\mathbb{Q}(c):\mathbb{Q}] \] 是 \(2\) 的幂

因此：

• \(60^\circ\) 角一般不可三等分
• 正方体倍积作图不可能完成

定义 14.2 伽罗瓦群与基本定理

定义 14.2.1 \(K\)-同态与伽罗瓦群

设 \(E,F\) 都是 \(K\) 的扩域。若非零域同态 \[ \sigma:E\to F \] 满足对所有 \(k \in K\) 都有 \(\sigma(k)=k\)，则称 \(\sigma\) 为 \(K\)-同态。

若 \(E=F\)，则称其为 \(K\)-自同构。

\(F\) 关于 \(K\) 的所有 \(K\)-自同构构成群，记为 \[ \operatorname{Aut}_K(F) \] 称为 \(F/K\) 的伽罗瓦群。

定理 14.2.1

若 \(f \in K[x]\)，\(u\) 是 \(f\) 在某个扩域中的根，\(\sigma:E\to F\) 是 \(K\)-同态，则 \[ f(u)=0 \Longrightarrow f(\sigma(u))=0 \]

因此 \(K\)-自同构总会在一个多项式的根之间进行置换。

证明： 点击查看证明

设 \[ f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0,\qquad a_i \in K \] 则因为 \(\sigma\) 固定 \(K\) 中每个元素， \[ \sigma(f(u)) =\sigma(a_nu^n+\cdots+a_0) =a_n\sigma(u)^n+\cdots+a_0 =f(\sigma(u)) \] 因此若 \(f(u)=0\)，则 \[ f(\sigma(u))=\sigma(f(u))=\sigma(0)=0 \]

定义 14.2.2 不动域与伽罗瓦扩张

若 \(H \leq \operatorname{Aut}_K(F)\)，定义其不动域 \[ H'=\{u \in F \mid \sigma(u)=u,\ \forall \sigma \in H\} \]

若 \(E\) 是中间域，则定义 \[ E'=\operatorname{Aut}_E(F)=\{\sigma \in \operatorname{Aut}_K(F)\mid \sigma(u)=u,\ \forall u \in E\} \]

若 \[ \operatorname{Aut}_K(F)'=K \] 则称 \(F/K\) 为伽罗瓦扩张。

直观地说，伽罗瓦扩张就是“自同构已经足够多，多到恰好只固定住基域”。

定理 14.2.2 伽罗瓦理论基本定理

若 \(F/K\) 是有限维伽罗瓦扩张，记 \[ G=\operatorname{Aut}_K(F) \] 则中间域与子群之间存在一一对应：

• 每个中间域 \(E\) 对应子群 \(E'=\operatorname{Aut}_E(F)\)
• 每个子群 \(H\leq G\) 对应不动域 \(H'\)

并且：

• 这是反序对应： \[ E_1 \subseteq E_2 \iff E_2' \leq E_1' \]

• 相对次数与相对指数对应： \[ [F:E]=|E'|,\qquad [E:K]=[G:E'] \]

• 若 \(H_1 \leq H_2\)，则 \[ [H_2':H_1']=[H_1:H_2] \]

• 中间域 \(E/K\) 为伽罗瓦扩张当且仅当 \(E' \triangleleft G\)；此时 \[ \operatorname{Aut}_K(E)\cong G/E' \]

说明： 点击查看说明

这是整章最核心的结论。它把“中间域问题”翻译成“子群问题”，把“扩张次数”翻译成“子群指数”，把“正规性/伽罗瓦性”翻译成“正规子群与商群”。

因此很多关于方程根的结构问题，最后都会变成对有限群的分析。

证明思路： 点击查看证明

记 \[ \Phi(E)=E'=\operatorname{Aut}_E(F),\qquad \Psi(H)=H' \] 则包含关系反向这一点是直接的：\(E_1 \subseteq E_2\) 时，固定较大域的自同构更少，所以 \[ E_2' \leq E_1' \] 而 \(H_1 \leq H_2\) 时，被较大群同时固定的元素更少，所以 \[ H_2' \subseteq H_1' \]

关键点是二次取撇号会回到原对象。对任意子群 \(H \leq G\)，由下面的 Artin 定理，\(F/H'\) 是有限维伽罗瓦扩张，且 \[ [F:H']=|H|,\qquad \operatorname{Aut}_{H'}(F)=H \] 因此 \[ (H')'=H \]

对任意中间域 \(E\)，由于 \(F/K\) 是有限维伽罗瓦扩张，所以 \(F/E\) 仍正规且可分，从而是伽罗瓦扩张。于是 \[ |E'|=|\operatorname{Aut}_E(F)|=[F:E] \] 另一方面，把 Artin 定理应用到子群 \(E'\) 上， \[ [F:(E')']=|E'| \] 且显然 \[ E \subseteq (E')' \] 故 \[ [F:E]=[F:(E')'] \] 只能推出 \[ E=(E')' \]

这样就得到中间域与子群的一一对应，而且是反序的。再由 \[ |E'|=[F:E],\qquad |G|=[F:K] \] 立得 \[ [E:K]=\frac{[F:K]}[F:E]=\frac{|G|}{|E'|}=[G:E'] \] 若 \(H_1 \leq H_2\)，同理 \[ [H_2':H_1']=\frac{[F:H_1']}{[F:H_2']}=\frac{|H_1|}{|H_2|}=[H_1:H_2] \]

最后设 \(E\) 对应子群 \(E'\)。若 \(E/K\) 为伽罗瓦扩张，则任意 \(\sigma \in G\) 都把 \(E\) 送到自身，于是其诱导共轭作用保持“固定 \(E\) 的自同构群”，故 \[ E' \triangleleft G \] 反之若 \(E' \triangleleft G\)，则对任意 \(\sigma \in G\)， \[ \sigma(E)=\sigma((E')')=(\sigma E'\sigma^{-1})'=(E')'=E \] 故 \(E/K\) 正规；可分性由 \(F/K\) 的可分性继承，所以 \(E/K\) 伽罗瓦。

当 \(E/K\) 伽罗瓦时，限制映射 \[ G \to \operatorname{Aut}_K(E),\qquad \sigma \mapsto \sigma|_E \] 是满同态，其核正是 \(E'\)，从而 \[ \operatorname{Aut}_K(E)\cong G/E' \]

定理 14.2.3 Artin 定理

设 \(F\) 是域，\(G\) 是 \(F\) 的一个有限自同构群，记其不动域为 \[ K=G' \] 则：

• \(F/K\) 是有限维伽罗瓦扩张
• 并且 \[ [F:K]=|G|,\qquad \operatorname{Aut}_K(F)=G \]

这个定理给出了构造伽罗瓦扩张的一种基本方式：先给出一个自同构群，再取不动域。

证明： 点击查看证明

设 \[ G=\{\sigma_1,\dots,\sigma_n\},\qquad K=G' \]

先证 \(F/K\) 是代数扩张。对任意 \(u \in F\)，考虑 \[ p_u(x)=\prod_{\sigma \in G}(x-\sigma(u)) \] 对任意 \(\tau \in G\)，\(\tau\) 只是把这些因子重新排列，因此 \(\tau(p_u)=p_u\)，故其系数都被 \(G\) 固定，属于 \(K\)。于是 \[ p_u(u)=0 \] 说明 \(u\) 关于 \(K\) 代数。

下面证明 \[ [F:K]\leq n \] 设 \(u_1,\dots,u_m \in F\) 在 \(K\) 上线性无关。考虑矩阵 \[ M=(\sigma_i(u_j))_{1\le i\le n,\ 1\le j\le m} \] 若其列向量线性相关，则存在不全为零的 \(a_1,\dots,a_m \in F\) 使对每个 \(\sigma \in G\) 都有 \[ \sum_{j=1}^m a_j \sigma(u_j)=0 \] 取这样的关系，使其中非零系数个数最少，并归一化为 \(a_m=1\)。对任意 \(\tau \in G\)，把上式施加 \(\tau\) 后得 \[ \sum_{j=1}^m \tau(a_j)\tau\sigma(u_j)=0 \] 再与把 \(\tau\sigma\) 代入原关系所得等式相减，得到 \[ \sum_{j=1}^{m-1}(\tau(a_j)-a_j)\tau\sigma(u_j)=0 \] 由最小性知每个 \(\tau(a_j)-a_j=0\)，故 \(a_1,\dots,a_{m-1}\in K\)。于是当 \(\sigma=\operatorname{id}\) 时， \[ a_1u_1+\cdots+a_{m-1}u_{m-1}+u_m=0 \] 与 \(u_1,\dots,u_m\) 在 \(K\) 上线性无关矛盾。因此矩阵 \(M\) 的列向量线性无关，从而 \[ m\leq n \] 也就是 \[ [F:K]\leq |G| \]

另一方面，有限扩张的任一 \(K\)-自同构都由一组 \(K\)-基的像唯一决定，因此 \[ |G| \leq [F:K] \] 故 \[ [F:K]=|G| \]

由此 \(F/K\) 是有限扩张。又它有恰好 \([F:K]\) 个 \(K\)-自同构，因此 \(F/K\) 必可分；并且所有 \(K\)-嵌入都已经落在 \(F\) 内，所以 \(F/K\) 正规。于是 \(F/K\) 是伽罗瓦扩张，而 \[ \operatorname{Aut}_K(F)=G \] 按定义本就成立。

定义 14.3 分裂域、代数闭包与正规性

定义 14.3.1 分裂域

设 \(f \in K[x]\) 是正次数多项式。若扩域 \(F/K\) 满足：

• \(f\) 在 \(F[x]\) 中分解为一次因子的乘积
• \(F\) 由这些根生成

则称 \(F\) 为 \(f\) 在 \(K\) 上的分裂域。

更一般地，一族多项式的分裂域定义类似。

定理 14.3.1

任意域 \(K\) 上的任意正次数多项式（或多项式族）都存在分裂域；并且分裂域在保持 \(K\) 不变的同构意义下唯一。

证明： 点击查看证明

先证存在性。对单个多项式按次数归纳。若 \(\deg f=1\) 则显然。若 \(\deg f>1\)，由定理 14.1.6 可取某个扩张 \(K(u)\) 使 \(f\) 在其中有一个根，于是 \[ f(x)=(x-u)g(x)\qquad \text{于 } K(u)[x] \] 其中 \(\deg g=\deg f-1\)。对 \(g\) 再用归纳假设，可在某个扩域中使它完全分裂。把这个扩域与 \(K(u)\) 合起来，就得到 \(f\) 的分裂域。

对一族多项式，只需先取有限个，再不断把新的根添进去；所有这些根生成的域就是所求分裂域。

再证唯一性。设 \(F\) 与 \(F'\) 都是同一族多项式在 \(K\) 上的分裂域。对其中某个尚未处理的不可约因子，取它在 \(F\) 中的一个根 \(u\)，在 \(F'\) 中取对应的一个根 \(v\)。由定理 14.1.5，恒等映射 \[ \operatorname{id}_K \] 可延拓为 \[ K(u)\cong K(v) \] 接着把其余根一个个加上去，反复延拓同构。最终得到 \[ F\cong F' \] 且在 \(K\) 上为恒等。

定义 14.3.2 代数闭包与代数闭域

域 \(F\) 若满足每个正次数多项式 \(f \in F[x]\) 都在 \(F\) 中有根，则称 \(F\) 代数闭。

若 \(F/K\) 是代数扩张，且 \(F\) 代数闭，则称 \(F\) 为 \(K\) 的代数闭包。

定理 14.3.2

以下条件等价：

• \(F\) 是代数闭域
• 每个非零多项式都在 \(F[x]\) 中完全分裂成一次因子
• \(F[x]\) 中不可约多项式恰好都是一次多项式

证明： 点击查看证明

若 \(F\) 代数闭，则每个正次数多项式都有根。把这个根对应的一次因子除去，再归纳下去，就得它在 \(F[x]\) 中完全分裂成一次因子。

若每个非零多项式都完全分裂成一次因子，则不可约多项式不可能有次数大于 \(1\)，故 \(F[x]\) 中不可约多项式都恰为一次。

若 \(F[x]\) 中每个不可约多项式都一次，则任意正次数多项式必有一个一次不可约因子，从而在 \(F\) 中有根，因此 \(F\) 代数闭。

定理 14.3.3

每个域都存在代数闭包；任意两个代数闭包在保持基域不变的同构意义下唯一。

证明思路： 点击查看证明

存在性可用 Zorn 引理。把所有“包含 \(K\) 的代数扩张”按包含关系排成偏序，取极大元 \(\Omega\)。若 \(\Omega\) 不是代数闭域，则存在某个 \[ f \in \Omega[x] \] 无根；把一个根再加进去会得到更大的代数扩张，这与极大性矛盾。因此 \(\Omega\) 代数闭，并且仍是 \(K\) 的代数扩张，所以它就是一个代数闭包。

唯一性则用“逐步延拓同构”。设 \(\Omega_1,\Omega_2\) 都是 \(K\) 的代数闭包。对 \(\Omega_1\) 的任意有限生成子扩张 \[ K(u_1,\dots,u_m) \] 可依次用定理 14.1.5，把恒等映射 \(K\to K\) 延拓到 \[ K(u_1,\dots,u_m)\to \Omega_2 \] 的嵌入。再用 Zorn 引理把这些部分同构扩到整个 \(\Omega_1\)，得到 \[ \Omega_1 \cong \Omega_2 \] 且在 \(K\) 上为恒等。

定义 14.3.3 正规扩张

设 \(F/K\) 是代数扩张。若任意不可约多项式 \(f \in K[x]\) 只要在 \(F\) 中有一个根，就在 \(F[x]\) 中完全分裂，则称 \(F/K\) 为正规扩张。

定理 14.3.4

设 \(F/K\) 为代数扩张，则下列条件等价：

• \(F/K\) 正规
• \(F\) 是某族 \(K[x]\) 中多项式的分裂域
• 对任意 \(K\)-单同态 \(\sigma:F\to N\)（其中 \(N\) 是包含 \(F\) 的某个正规扩张），都有 \[ \sigma(F)=F \]

证明： 点击查看证明

先证 \(1 \Rightarrow 2\)。设 \(\Sigma\) 为所有“在 \(F\) 中至少有一个根的 \(K[x]\) 不可约多项式”组成的族。由正规性，每个这样的多项式都在 \(F\) 中完全分裂。另一方面，\(F\) 中每个元素都代数于 \(K\)，所以都是某个这类多项式的根，故 \(F\) 正好由这些根生成。因此 \(F\) 是这族多项式的分裂域。

再证 \(2 \Rightarrow 3\)。若 \(F\) 是某族 \(K[x]\) 中多项式的分裂域，而 \(\sigma:F\to N\) 是一个 \(K\)-单同态，则由定理 14.2.1，\(\sigma\) 把每个根送到同一多项式的另一个根。因此 \(\sigma(F)\) 仍由同一批根生成，只能等于 \(F\)。

最后证 \(3 \Rightarrow 1\)。设 \(f \in K[x]\) 不可约，并在 \(F\) 中有根 \(u\)。取包含 \(F\) 与 \(f\) 全部根的某个正规扩张 \(N\)，再取 \(f\) 的任一根 \(v\)。由定理 14.1.5，存在把 \(u\) 送到 \(v\) 的 \(K\)-嵌入 \[ K(u)\to K(v)\subseteq N \] 把它延拓为一个 \(K\)-单同态 \[ \sigma:F\to N \] 由假设 \(\sigma(F)=F\)，于是 \[ v=\sigma(u)\in F \] 所以 \(f\) 的所有根都在 \(F\) 中，即 \(F/K\) 正规。

定义 14.3.4 可分扩张与伽罗瓦扩张

设 \(u\) 关于 \(K\) 代数。若其极小多项式没有重根，则称 \(u\) 可分。

若 \(F/K\) 中每个元素都可分，则称 \(F/K\) 为可分扩张。

若 \(F/K\) 同时正规且可分，则称为伽罗瓦扩张。

定理 14.3.5

设 \(F/K\) 为代数扩张，则：

• \(F/K\) 是伽罗瓦扩张，当且仅当它是某族可分多项式的分裂域
• 若 \(E/K\) 是任意代数扩张，则存在一个包含 \(E\) 的正规闭包（normal closure）

证明： 点击查看证明

若 \(F/K\) 伽罗瓦，则它正规且可分。由定理 14.3.4，\(F\) 是某族 \(K[x]\) 中多项式的分裂域；又因 \(F/K\) 可分，\(F\) 中每个元素的极小多项式都可分，于是可取这族多项式全为可分多项式。

反过来，若 \(F\) 是某族可分多项式的分裂域，则它作为分裂域必正规，而由可分多项式生成的扩张也是可分扩张，因此 \(F/K\) 伽罗瓦。

若 \(E/K\) 是任意代数扩张，就把 \(E\) 中每个元素在 \(K\) 上的极小多项式都拿出来，取这族多项式在 \(K\) 上的分裂域 \(N\)。显然 \[ E \subseteq N \] 且 \(N/K\) 正规；这就是 \(E\) 的一个正规闭包。

注记 14.3.6

本节附录中还给出了：

• 代数基本定理：\(\mathbb{C}\) 是代数闭域
• 对称有理函数基本定理：对称有理函数域由基本对称多项式生成

这两部分在后续伽罗瓦群和一般方程不可解性中都会出现。

定义 14.4 多项式的伽罗瓦群

定义 14.4.1

设 \(f \in K[x]\)，\(F\) 是 \(f\) 在 \(K\) 上的分裂域，则 \[ \operatorname{Gal}(f/K):=\operatorname{Aut}_K(F) \] 称为 \(f\) 的伽罗瓦群。

由于分裂域在 \(K\)-同构意义下唯一，这个定义与分裂域的选择无关。

定理 14.4.1

若 \(f\) 的不同根为 \(u_1,\dots,u_n\)，则 \(\operatorname{Gal}(f/K)\) 可视为 \(S_n\) 的一个子群。

若 \(f\) 是次数为 \(n\) 的不可约可分多项式，则：

• \(n \mid |\operatorname{Gal}(f/K)|\)
• 其伽罗瓦群在根集上作用是传递的

所以伽罗瓦群不是随便的置换群，而是一个“传递子群”。

证明： 点击查看证明

设 \(F\) 是 \(f\) 的分裂域，\(u_1,\dots,u_n\) 是 \(f\) 的不同根。任意 \[ \sigma \in \operatorname{Gal}(f/K) \] 都固定 \(K\)，于是由定理 14.2.1，\(\sigma\) 必把根送到根，所以它在集合 \[ \{u_1,\dots,u_n\} \] 上给出一个置换，从而得到单同态 \[ \operatorname{Gal}(f/K)\hookrightarrow S_n \]

现在设 \(f\) 还是不可约可分的。任取两个根 \(u_i,u_j\)。由定理 14.1.5，恒等映射 \(K\to K\) 可延拓为 \[ K(u_i)\cong K(u_j),\qquad u_i\mapsto u_j \] 而 \(F\) 是分裂域，因此该同构进一步延拓为 \(F\) 的一个 \(K\)-自同构。故存在 \(\sigma \in \operatorname{Gal}(f/K)\) 使 \[ \sigma(u_i)=u_j \] 所以作用是传递的。

由轨道-稳定子定理， \[ |\operatorname{Gal}(f/K)|=|\operatorname{Orb}(u_1)|\cdot |\operatorname{Stab}(u_1)| \] 而传递性表明 \[ |\operatorname{Orb}(u_1)|=n \] 故 \[ n \mid |\operatorname{Gal}(f/K)| \]

定义 14.4.2 判别式

设 \(f\) 是 \(K[x]\) 中次数为 \(n\) 的可分多项式，根为 \(u_1,\dots,u_n\)。定义 \[ \Delta=\prod_{i<j}(u_i-u_j),\qquad D=\Delta^2 \] 其中 \(D\) 称为 \(f\) 的判别式。

定理 14.4.2

判别式 \(D\) 实际落在基域 \(K\) 中。

此外，若把伽罗瓦群看作根上的置换群，则：

• 偶置换恰好保持 \(\Delta\) 不变
• 奇置换恰好把 \(\Delta\) 变成 \(-\Delta\)

因此：

• 伽罗瓦群全由偶置换组成 \(\iff \Delta \in K\)
• 在特征不为 \(2\) 时，等价于判别式 \(D\) 是 \(K\) 中某元素的平方

证明： 点击查看证明

任取 \[ \sigma \in \operatorname{Gal}(f/K) \] 它只是把根 \(u_1,\dots,u_n\) 重新排列，因此 \[ \sigma(D) =\prod_{i<j}(\sigma(u_i)-\sigma(u_j))^2 =\prod_{i<j}(u_i-u_j)^2 =D \] 故 \(D\) 被整个伽罗瓦群固定，于是 \[ D \in K \]

对 \(\Delta\)，若 \(\sigma\) 在根上对应的置换是 \(\pi\)，则 \[ \sigma(\Delta)=\operatorname{sgn}(\pi)\,\Delta \] 因为置换一切差积只会改变符号而不改变平方。于是偶置换恰好保持 \(\Delta\)，奇置换恰好把 \(\Delta\) 变成 \(-\Delta\)。

因此：

• 若伽罗瓦群全由偶置换组成，则每个 \(\sigma\) 都固定 \(\Delta\)，故 \(\Delta \in K\)
• 反之若 \(\Delta \in K\)，则每个 \(\sigma\) 都固定 \(\Delta\)，因此不可能对应奇置换

在 \(\operatorname{char} K \neq 2\) 时，若 \[ D=a^2,\qquad a \in K \] 又因 \[ D=\Delta^2 \] 便有 \[ (\Delta-a)(\Delta+a)=0 \] 在域中只能推出 \(\Delta=\pm a\)，故 \(\Delta \in K\)。反向显然，所以这时 \[ \Delta \in K \iff D \text{ 是 } K \text{ 中平方} \]

推论 14.4.3 三次多项式

设 \(f \in K[x]\) 是不可约可分三次多项式，则 \[ \operatorname{Gal}(f/K)\cong S_3 \quad \text{或} \quad A_3 \]

若 \(\operatorname{char} K \neq 2\)，则 \[ \operatorname{Gal}(f/K)\cong A_3 \] 当且仅当 \(f\) 的判别式是 \(K\) 中平方。

注记 14.4.4 四次多项式

对不可约可分四次多项式，可以借助三次预解式（resolvent cubic）来判定其伽罗瓦群是：

• \(S_4\)
• \(A_4\)
• 四元 Klein 群 \(V_4\)
• 循环群 \(\mathbb{Z}_4\)
• 或正方形对称群 \(D_4\)

这一步是经典四次方程公式与伽罗瓦群分析之间的桥梁。

定义 14.5 有限域

定义 14.5.1 素域

设 \(F\) 是域，所有子域的交仍是一个子域，称为 \(F\) 的素域。

定理 14.5.1

任意域 \(F\) 的素域只有两种可能：

• 若 \(\operatorname{char} F = p\) 为素数，则素域同构于 \(\mathbb{Z}_p\)
• 若 \(\operatorname{char} F = 0\)，则素域同构于 \(\mathbb{Q}\)

证明： 点击查看证明

考虑环同态 \[ \varphi:\mathbb{Z}\to F,\qquad n\mapsto n\cdot 1_F \] 其像包含于任何子域，因为任何子域都必须含有 \(1_F\)，从而也含有所有整数倍。因此素域正是由 \(\operatorname{Im}\varphi\) 生成的最小子域。

若 \(\operatorname{char} F=p\)，则 \[ \ker\varphi=p\mathbb{Z} \] 故 \[ \operatorname{Im}\varphi\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_p \] 而它本身已经是域，所以它就是素域。

若 \(\operatorname{char} F=0\)，则 \(\ker\varphi=0\)，故 \(\mathbb{Z}\) 嵌入 \(F\)。由它生成的最小子域就是其分式域 \[ \mathbb{Q} \] 因此素域同构于 \(\mathbb{Q}\)。

推论 14.5.2

若 \(F\) 是有限域，则 \[ \operatorname{char} F = p \] 为某个素数，并且 \[ |F|=p^n \] 其中 \(n \geq 1\)。

定理 14.5.3

任意域中任一有限乘法子群都是循环群。

特别地，有限域 \(F\) 的非零元素在乘法下构成循环群 \[ F^\times \]

因此有限域一定是某个本原元生成的单扩张。

证明： 点击查看证明

设 \(G\) 是域中的一个有限乘法子群。由于域乘法交换，\(G\) 是有限阿贝尔群。

设 \(m\) 为 \(G\) 的指数，即所有元素阶的最小公倍数。则对任意 \(g \in G\) 都有 \[ g^m=1 \] 所以 \(G\) 中每个元素都是多项式 \[ x^m-1 \] 的根。域上的多项式至多有与次数相同个根，因此 \[ |G|\le m \]

另一方面，对有限阿贝尔群，指数不超过群的阶，所以 \[ m\le |G| \] 故 \[ m=|G| \] 而有限阿贝尔群中总存在元素的阶等于其指数，因此 \(G\) 中存在元素 \(g\) 满足 \[ |g|=m=|G| \] 于是 \[ G=\langle g\rangle \] 故 \(G\) 为循环群。

应用到有限域的乘法群 \(F^\times\) 即得结论。

定理 14.5.4

设 \(p\) 是素数，\(n \geq 1\)。则域 \(F\) 有 \(p^n\) 个元素，当且仅当 \(F\) 是多项式 \[ x^{p^n}-x \] 在 \(\mathbb{Z}_p\) 上的分裂域。

证明： 点击查看证明

若 \(|F|=p^n\)，则对任意非零 \(u \in F\)，由乘法群 \(F^\times\) 的阶为 \(p^n-1\)，可得 \[ u^{p^n-1}=1 \] 于是对一切 \(u \in F\) 都有 \[ u^{p^n}=u \] 故 \(F\) 中每个元素都是 \[ x^{p^n}-x \] 的根。该多项式次数正为 \(p^n\)，所以它在 \(F\) 中恰好以 \(F\) 的全部元素为根，从而 \(F\) 就是它在 \(\mathbb{Z}_p\) 上的分裂域。

反过来，设 \(F\) 是 \[ x^{p^n}-x \] 在 \(\mathbb{Z}_p\) 上的分裂域，记其根集为 \(R\)。若 \(a,b \in R\)，则在特征 \(p\) 下 \[ (a\pm b)^{p^n}=a^{p^n}\pm b^{p^n}=a\pm b \] 以及 \[ (ab)^{p^n}=a^{p^n}b^{p^n}=ab \] 若 \(a\neq 0\)，则 \[ (a^{-1})^{p^n}=(a^{p^n})^{-1}=a^{-1} \] 故 \(R\) 对四则运算封闭，是一个子域。分裂域由全部根生成，而这些根本身已经构成域，因此分裂域就是 \(R\)。

又 \[ \frac{d}{dx}(x^{p^n}-x)=-1 \] 在特征 \(p\) 下仍非零，所以该多项式没有重根。故它恰有 \[ p^n \] 个不同根，于是 \[ |F|=|R|=p^n \]

推论 14.5.5

对任意素数 \(p\) 与正整数 \(n\)：

• 存在一个有 \(p^n\) 个元素的域
• 任意两个有 \(p^n\) 个元素的域彼此同构

通常把它记为 \[ \mathbb{F}_{p^n} \]

证明思路： 点击查看证明

若 \(|F|=p^n\)，则对任意非零 \(u \in F\)， \[ u^{p^n-1}=1 \] 故所有元素都满足 \[ u^{p^n}=u \] 也就是都是 \(x^{p^n}-x\) 的根，所以 \(F\) 是该多项式的分裂域。

反过来，若 \(F\) 是 \(x^{p^n}-x\) 的分裂域，则它的根构成一个子域，且恰有 \(p^n\) 个元素，因此整个分裂域就是这个子域。

唯一性来自“同一个基域上的分裂域在同构意义下唯一”。

推论 14.5.6

若 \(K\) 是有限域，\([F:K]=n\)，则：

• \(F\) 仍是有限域
• \(F/K\) 是伽罗瓦扩张
• \(\operatorname{Aut}_K(F)\) 是循环群

其生成元由 Frobenius 自同构 \[ \varphi:u\mapsto u^{|K|} \] 给出。

特别地，有限域都是完美域。

定义 14.6 可分性

定义 14.6.1 纯不可分

设 \(F/K\) 为域扩张，\(u \in F\) 代数于 \(K\)。

若 \(u\) 的极小多项式在某个分裂域中只有一个根，即形如 \[ (x-u)^m \] 则称 \(u\) 纯不可分于 \(K\)。

若 \(F\) 中每个元素都纯不可分于 \(K\)，则称 \(F/K\) 为纯不可分扩张。

定理 14.6.1

元素 \(u\) 同时可分又纯不可分，当且仅当 \[ u \in K \]

因此可分与纯不可分在非平凡情况下是“完全相反”的两种情形。

证明： 点击查看证明

若 \[ u\in K \] 则它在 \(K\) 上的极小多项式就是 \[ x-u \] 这显然既可分，又只有一个根，所以也纯不可分。

反过来，若 \(u\) 既可分又纯不可分，则它的极小多项式一方面没有重根，另一方面在分裂域中又只有一个根。于是这个极小多项式只能是一次的，从而 \[ u\in K \]

定理 14.6.2 纯不可分扩张的刻画

设 \(\operatorname{char} K = p > 0\)，\(F/K\) 为代数扩张，则下列条件等价：

• \(F/K\) 纯不可分
• 对每个 \(u \in F\)，其极小多项式形如 \[ x^{p^n}-a \]
• 对每个 \(u \in F\)，存在 \(n \geq 0\) 使得 \[ u^{p^n}\in K \]
• \(F\) 中关于 \(K\) 可分的元素恰好是 \(K\) 本身
• \(F\) 由一族纯不可分元素生成

证明： 点击查看证明

先证 \(1 \Rightarrow 2\)。设 \(u \in F\)，其极小多项式为 \(m(x)\)。由于 \(u\) 纯不可分，\(m\) 在分裂域里只有一个根，因此 \(m\) 不是可分多项式。对不可约多项式，这等价于 \[ m'(x)=0 \] 于是 \(m(x)\) 只能含有 \(x^p\) 的幂。反复提取 \(p\) 次幂后，可写成 \[ m(x)=g(x^{p^n}),\qquad g'(x)\neq 0 \] 但 \(m\) 只有一个根，所以 \(g\) 也只有一个根；而 \(g\) 又可分，只能是一次多项式，因此 \[ m(x)=x^{p^n}-a \]

由 \(2 \Rightarrow 3\) 是直接的，因为若 \(m_u(x)=x^{p^n}-a\)，则 \[ u^{p^n}=a\in K \]

证 \(3 \Rightarrow 4\)。若 \(u\) 关于 \(K\) 可分，且 \[ u^{p^n}\in K \] 则 \(u\) 的极小多项式整除 \[ x^{p^n}-u^{p^n}=(x-u)^{p^n} \] 故 \(u\) 也纯不可分。由定理 14.6.1，只能有 \[ u\in K \]

证 \(4 \Rightarrow 1\)。若 \(F/K\) 不是纯不可分扩张，则存在 \(u \in F\) 其极小多项式不是只有一个根。像上面那样写成 \[ m_u(x)=g(x^{p^n}),\qquad g'(x)\neq 0 \] 则 \[ w=u^{p^n} \] 在 \(K\) 上的极小多项式就是 \(g\)，因而 \(w\) 是一个不在 \(K\) 中的可分元素，这与 \(4\) 矛盾。

由 \(1\) 显然推出 \(5\)，因为可直接把 \(F\) 中全部元素作为生成元。

最后证 \(5 \Rightarrow 3\)。任取 \(u \in F\)，它只依赖于有限多个纯不可分生成元 \(u_1,\dots,u_m\)。对每个 \(i\) 取 \(n_i\) 使 \[ u_i^{p^{n_i}}\in K \] 令 \[ N=\max\{n_1,\dots,n_m\} \] 则各个 \(u_i^{p^N}\) 都在 \(K\) 中。把 \(u\) 写成这些 \(u_i\) 的有理式，在特征 \(p\) 下升到 \(p^N\) 次幂，利用 Frobenius 公式 \[ (a+b)^{p^N}=a^{p^N}+b^{p^N} \] 可知 \[ u^{p^N} \] 成为一个只含 \(u_i^{p^N}\in K\) 与 \(K\) 中系数的有理式，因此 \[ u^{p^N}\in K \] 故得 \(3\)。

推论 14.6.3

若 \(F/K\) 是有限维纯不可分扩张，则 \[ [F:K]=p^m \] 对某个 \(m \geq 0\) 成立。

定理 14.6.4 最大可分子域与最大纯不可分子域

设 \(F/K\) 为代数扩张。

记：

• \(S\) 为 \(F\) 中所有关于 \(K\) 可分的元素组成的集合
• \(P\) 为 \(F\) 中所有关于 \(K\) 纯不可分的元素组成的集合

则：

• \(S\) 是 \(F\) 的子域，且是包含在 \(F\) 中的最大可分扩张
• \(P\) 是 \(F\) 的子域，且是包含在 \(F\) 中的最大纯不可分扩张
• \(F\) 纯不可分扩张于 \(S\)
• \(P \cap S = K\)
• 若 \(F\) 对 \(K\) 正规，则 \(S/K\) 伽罗瓦，\(F/P\) 伽罗瓦

证明思路： 点击查看证明

先看 \(S\)。若 \(u,v\) 都关于 \(K\) 可分，则有限扩张 \[ K(u,v)/K \] 仍是可分扩张，因此 \[ u\pm v,\ uv,\ u^{-1} \] 都仍可分，故 \(S\) 是子域。任何包含在 \(F\) 中的可分子扩张都只能由这些可分元素组成，所以 \(S\) 是最大的可分子域。

对 \(P\)，若 \[ u^{p^m},\,v^{p^n}\in K \] 令 \(N=\max\{m,n\}\)，则 \[ (u\pm v)^{p^N}=u^{p^N}\pm v^{p^N}\in K,\qquad (uv)^{p^N}=u^{p^N}v^{p^N}\in K \] 以及 \[ (u^{-1})^{p^N}=(u^{p^N})^{-1}\in K \] 因此 \(P\) 也是子域；最大性同理。

对任意 \(u \in F\)，把其极小多项式写成 \[ m_u(x)=g(x^{p^n}),\qquad g'(x)\neq 0 \] 则 \[ u^{p^n} \] 在 \(K\) 上可分，所以属于 \(S\)。这说明 \(u\) 纯不可分于 \(S\)，于是 \[ F/S \] 纯不可分。

若某元素同时属于 \(P\) 与 \(S\)，它既纯不可分又可分，于是由定理 14.6.1 必属于 \(K\)，故 \[ P \cap S=K \]

当 \(F/K\) 正规时，一个在 \(S\) 中有根的 \(K\)-不可约多项式，其全部共轭根都落在 \(F\) 中；这些根仍是可分的，所以都在 \(S\) 中，因此 \(S/K\) 正规且可分，即为伽罗瓦扩张。把纯不可分部分剥离之后，剩下的相对扩张 \(F/P\) 就是正规扩张中的可分部分，因此也伽罗瓦。

定义 14.6.2 可分次数与不可分次数

设 \(F/K\) 为有限代数扩张，\(S\) 为其最大可分子域。定义 \[ [F:K]_s := [S:K],\qquad [F:K]_i := [F:S] \] 分别称为可分次数与不可分次数。

于是总有 \[ [F:K]=[F:K]_s[F:K]_i \]

在特征 \(p>0\) 时，不可分次数总是 \(p\) 的幂。

定理 14.6.5 原始元定理

若 \(F/K\) 是有限维可分扩张，则 \(F/K\) 是单扩张，即存在 \(u \in F\) 使得 \[ F=K(u) \]

因此有限维可分扩张通常都可以“用一个元素生成”。

证明思路： 点击查看证明

若 \(K\) 有限，则 \(F\) 也是有限域，而 \[ F^\times \] 由定理 14.5.3 是循环群。取其一个生成元 \(u\)，就有 \[ F=K(u) \]

下面设 \(K\) 无限。先证二元情形 \[ F=K(u,v) \] 其中 \(u,v\) 都可分。设 \(u\) 的共轭根为 \(u_1,\dots,u_r\)，\(v\) 的共轭根为 \(v_1,\dots,v_s\)。由于 \(K\) 无限，可选取 \[ c\in K \] 避开有限多个坏值，使得 \[ u_i+cv_j=u+cv \] 只在 \(i=1,\ j=1\) 时发生。

令 \[ w=u+cv \] 则在 \(K(w)[x]\) 中，多项式 \[ m_v(x),\qquad m_u(w-cx) \] 都以 \(v\) 为根，而由上面对 \(c\) 的选择，\(v\) 是它们唯一的公共根。因此它们的最大公因式就是 \[ x-v \] 于是 \[ v\in K(w) \] 进而 \[ u=w-cv\in K(w) \] 故 \[ K(u,v)=K(w) \]

对有限多个生成元，只需把 \[ K(u_1,\dots,u_m) \] 反复应用上述二元情形归纳压缩成单扩张即可。

注记 14.6.6 完美域

域 \(K\) 若满足以下等价条件之一，则称为完美域：

• \(K[x]\) 中每个不可约多项式都可分
• \(K\) 的每个代数扩张都可分
• 或者 \(\operatorname{char} K=0\)
• 或者 \(\operatorname{char} K=p>0\) 且 \[ K=K^p=\{u^p\mid u \in K\} \]

所有有限域都是完美域。

定义 14.7 循环扩张

定义 14.7.1

若 \(F/K\) 是代数伽罗瓦扩张，且 \[ \operatorname{Aut}_K(F) \] 是循环群，则称 \(F/K\) 为循环扩张。

若其阶为 \(n\)，则称为 \(n\) 次循环扩张。

定义 14.7.2 范数与迹

设 \(F/K\) 为有限扩张，\(\overline K\) 是包含 \(F\) 的某个代数闭包。

设 \(\sigma_1,\dots,\sigma_r\) 是所有不同的 \(K\)-单同态 \(F\to \overline K\)，则对 \(u \in F\) 定义： \[ N_{K}^{F}(u)=\bigl(\sigma_1(u)\cdots \sigma_r(u)\bigr)^{[F:K]_i} \] 以及 \[ T_{K}^{F}(u)=[F:K]_i\bigl(\sigma_1(u)+\cdots+\sigma_r(u)\bigr) \]

分别称为范数与迹。

若 \(F/K\) 伽罗瓦，则它们分别就是所有共轭元的乘积与和。

定理 14.7.1 Hilbert 90

设 \(F/K\) 是 \(n\) 次循环扩张，\(\sigma\) 是 \(\operatorname{Aut}_K(F)\) 的一个生成元，则：

• 对任意 \(u \in F\)， \[ T_K^F(u)=0 \] 当且仅当存在 \(v \in F\) 使得 \[ u=v-\sigma(v) \]

• 对任意非零 \(u \in F\)， \[ N_K^F(u)=1 \] 当且仅当存在非零 \(v \in F\) 使得 \[ u=v\,\sigma(v)^{-1} \]

这是循环扩张结构的关键工具。

证明： 点击查看证明

先证加法形式。若 \[ u=v-\sigma(v) \] 则 \[ u+\sigma(u)+\cdots+\sigma^{n-1}(u) \] 是一个望远镜和，直接化简得 \(0\)，故 \[ T_K^F(u)=0 \]

反过来，若 \[ T_K^F(u)=0 \] 由于循环扩张必为有限可分扩张，迹映射 \[ T_K^F:F\to K \] 是一个非零的 \(K\)-线性映射，因此它满射。于是可取 \(c \in F\) 使 \[ T_K^F(c)=1 \] 并定义 \[ v=\sum_{i=1}^{n-1}\left(u+\sigma(u)+\cdots+\sigma^{i-1}(u)\right)\sigma^i(c) \] 直接把 \(\sigma(v)\) 展开后与 \(v\) 相减，可见中间项全部消去，只剩 \[ v-\sigma(v)=u\,T_K^F(c)=u \]

再证乘法形式。若 \[ u=v\,\sigma(v)^{-1} \] 则 \[ N_K^F(u)=\prod_{i=0}^{n-1}\sigma^i(u) =\prod_{i=0}^{n-1}\sigma^i(v)\sigma^{i+1}(v)^{-1}=1 \]

反过来设 \[ N_K^F(u)=1 \] 对任意 \(a \in F\) 定义 \[ w(a)=a+u\sigma(a)+u\sigma(u)\sigma^2(a)+\cdots+u\sigma(u)\cdots\sigma^{n-2}(u)\sigma^{n-1}(a) \] 由 \[ u\,\sigma(u)\cdots\sigma^{n-1}(u)=1 \] 可直接验证 \[ u\,\sigma(w(a))=w(a) \] 因此只要某个 \(a\) 使 \(w(a)\neq 0\)，取 \(v=w(a)\) 即有 \[ u=v\,\sigma(v)^{-1} \] 而这样的 \(a\) 必存在；否则 \(w(a)=0\) 对所有 \(a\) 成立，就给出不同自同构之间的非平凡线性关系，这与 Artin 定理证明中用到的线性无关性矛盾。

定理 14.7.2 Artin–Schreier 形式

设 \(\operatorname{char} K=p>0\)，则 \(F/K\) 是 \(p\) 次循环扩张，当且仅当 \(F\) 是某个不可约多项式 \[ x^p-x-a \in K[x] \] 的分裂域。

此时若 \(u\) 是其一个根，则 \[ F=K(u) \]

并且该多项式要么不可约，要么已经在 \(K[x]\) 中完全分裂。

证明： 点击查看证明

先设 \(F/K\) 是 \(p\) 次循环扩张，生成元为 \(\sigma\)。由于 \[ T_K^F(1)=p=0 \] 由 Hilbert 90 的加法形式，存在 \(u \in F\) 使 \[ 1=u-\sigma(u) \] 即 \[ \sigma(u)=u+1 \] 于是 \[ \sigma(u^p-u)=\sigma(u)^p-\sigma(u)=(u+1)^p-(u+1)=u^p-u \] 故 \[ a:=u^p-u\in K \] 所以 \(u\) 是 \[ x^p-x-a \] 的根。其余根正是 \[ u,\ u+1,\ \dots,\ u+p-1 \] 都在 \(F\) 中，因此 \(F\) 是这个多项式的分裂域。

若该多项式在 \(K[x]\) 中有一个根 \(u\)，则上述全部根 \[ u+c\qquad (c\in \mathbb{F}_p) \] 也都在 \(K\) 中，所以它在 \(K[x]\) 中完全分裂；否则它没有一次因子，而次数是素数 \(p\)，故必不可约。

反过来，设 \[ f(x)=x^p-x-a \] 不可约，取其一根 \(u\)。则 \[ [K(u):K]=p \] 而 \(f\) 的全部根都形如 \[ u+c,\qquad c\in \mathbb{F}_p \] 所以都在 \(K(u)\) 中，故 \(K(u)\) 就是其分裂域。映射 \[ u\mapsto u+1 \] 保持 \(K\) 不动，并把根送到根，因此给出一个阶为 \(p\) 的 \(K\)-自同构。于是该分裂域关于 \(K\) 的伽罗瓦群是 \(p\) 阶循环群。

定理 14.7.3 Kummer 形式

设 \(n \ge 1\)，并假设 \(K\) 含有一个原始 \(n\) 次单位根 \(\zeta_n\)。

则对扩张 \(F/K\)，下列条件等价：

• \(F/K\) 是次数整除 \(n\) 的循环扩张
• \(F\) 是某个多项式 \[ x^n-a\in K[x] \] 的分裂域
• 等价地，\(F=K(u)\)，其中某个幂满足 \[ u^d=b\in K,\qquad d\mid n \]

也就是说，当基域里已经有足够多单位根时，循环扩张基本都来自“开 \(n\) 次方根”。

证明： 点击查看证明

先设 \(F/K\) 是一个 \(d\) 次循环扩张，其中 \(d\mid n\)，并设 \(\sigma\) 为其伽罗瓦群生成元。由于 \(K\) 含有原始 \(n\) 次单位根，所以也含有原始 \(d\) 次单位根，记为 \(\zeta_d\)。又 \[ N_K^F(\zeta_d)=\zeta_d^d=1 \] 由 Hilbert 90 的乘法形式，存在非零 \(u \in F\) 使 \[ \zeta_d=u\,\sigma(u)^{-1} \] 即 \[ \sigma(u)=\zeta_d^{-1}u \] 于是 \[ \sigma(u^d)=u^d \] 故 \[ u^d\in K \]

再看 \(u\) 的共轭元： \[ u,\ \sigma(u),\ \dots,\ \sigma^{d-1}(u)=\zeta_d^{-(d-1)}u \] 它们两两不同，因此 \(u\) 在 \(K\) 上至少有 \(d\) 个不同共轭根。而其极小多项式又整除 \[ x^d-u^d \] 故其次数至多为 \(d\)。于是 \[ [K(u):K]=d=[F:K] \] 从而 \[ F=K(u) \] 并满足 \[ u^d\in K,\qquad d\mid n \] 这就得到第三条。又由于 \[ u^n=(u^d)^{n/d}\in K \] 且 \(K\) 已含全部 \(n\) 次单位根，所以 \[ x^n-u^n \] 的全部根都形如 \[ \zeta_n^j u \] 并都落在 \(K(u)\) 中，故 \(F\) 也是某个 \[ x^n-a \] 的分裂域。

反过来，若 \(F\) 是某个 \[ x^n-a \] 的分裂域，取其一根 \(u\)。则全部根为 \[ \zeta_n^j u\qquad (0\le j<n) \] 都在 \(K(u)\) 中，所以 \[ F=K(u) \] 设 \[ H=\{\eta \in \mu_n \mid \eta u \text{ 是 } u \text{ 在 } K \text{ 上的共轭元}\} \] 则 \(H\) 是 \(\mu_n\) 的一个子群，故为循环群，设其阶为 \(d\)。于是 \[ d\mid n \] 而 \(u\) 的共轭元恰好是 \[ \eta u\qquad (\eta \in H) \] 所以 \[ [K(u):K]=|H|=d \] 并且对任意 \(\sigma \in \operatorname{Aut}_K(F)\)，都有 \[ \sigma(u)=\eta u\qquad (\eta \in H) \] 从而 \[ \sigma(u^d)=u^d \] 故 \[ u^d\in K \] 于是得到第三条。

最后若 \[ F=K(u),\qquad u^d=b\in K,\ d\mid n \] 则 \(F\) 是 \[ x^d-b \] 的分裂域，因为其全部根都形如 \[ \zeta_d^j u \] 且 \(\zeta_d\in K\)。因此 \(F/K\) 正规且可分；其任意 \(K\)-自同构都把 \(u\) 送到某个 \(\zeta_d^j u\)，故伽罗瓦群嵌入单位根群，从而是循环群，其阶整除 \(d\)，也就整除 \(n\)。

定义 14.8 分圆扩张

定义 14.8.1

设 \(n \ge 1\)。

若 \(F\) 是多项式 \[ x^n-1 \] 在域 \(K\) 上的分裂域，则称 \(F/K\) 为\(n\) 阶分圆扩张。

若 \(\operatorname{char} K \nmid n\)，则它是由某个原始 \(n\) 次单位根 \(\zeta_n\) 生成的扩张。

定理 14.8.1

设 \(\operatorname{char} K \nmid n\)，\(F/K\) 为 \(n\) 阶分圆扩张，则：

• \(F=K(\zeta_n)\)，其中 \(\zeta_n\) 是某个原始 \(n\) 次单位根
• \(F/K\) 是 Abel 扩张
• 其扩张次数整除 Euler 函数 \(\varphi(n)\)
• 其伽罗瓦群同构于 \(\mathbb{Z}_n^\times\) 的某个子群

特别地，当 \(n\) 为素数时，这个伽罗瓦群是循环群。

证明： 点击查看证明

在分裂域 \(F\) 中，方程 \[ x^n-1=0 \] 的根构成 \(F^\times\) 的一个有限乘法子群。由于 \(\operatorname{char} K \nmid n\)，该多项式没有重根，所以它恰有 \(n\) 个不同根。由定理 14.5.3，这个有限乘法子群是循环群，故存在一个原始 \(n\) 次单位根 \(\zeta_n\) 生成全部根，于是 \[ F=K(\zeta_n) \]

任取 \[ \sigma \in \operatorname{Aut}_K(F) \] 它必把 \(\zeta_n\) 送到另一个原始 \(n\) 次单位根，因此 \[ \sigma(\zeta_n)=\zeta_n^a \] 其中 \(a \in \mathbb{Z}_n^\times\)。于是得到单同态 \[ \operatorname{Aut}_K(F)\hookrightarrow \mathbb{Z}_n^\times,\qquad \sigma\mapsto a \] 所以伽罗瓦群同构于 \(\mathbb{Z}_n^\times\) 的某个子群，因而是 Abel 群。

再由 \[ |\operatorname{Aut}_K(F)|=[F:K] \] 可知 \[ [F:K]\mid |\mathbb{Z}_n^\times|=\varphi(n) \]

当 \(n\) 为素数时， \[ \mathbb{Z}_n^\times \] 本身是循环群，所以它的任意子群也循环。

定义 14.8.2 分圆多项式

第 \(n\) 个分圆多项式定义为 \[ \Phi_n(x)=\prod_{\substack{1\le r\le n\\(r,n)=1}}\left(x-\zeta_n^r\right) \]

其中 \(\zeta_n\) 是某个原始 \(n\) 次单位根。

定理 14.8.2

分圆多项式满足：

• 在任意特征不整除 \(n\) 的情形下， \[ x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x) \]

• \(\Phi_n(x)\) 的次数为 \[ \deg \Phi_n=\varphi(n) \]

• 当基域是 \(\mathbb{Q}\) 时，\(\Phi_n(x)\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约

因此对有理数域上的分圆扩张有 \[ [\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\varphi(n) \]

并且 \[ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \]

证明思路： 点击查看证明

第一条来自把 \[ x^n-1 \] 的根按“阶恰好等于 \(d\)”分组。每个 \(n\) 次单位根的阶惟一决定一个约数 \(d\mid n\)，而阶恰为 \(d\) 的那些根恰好给出 \(\Phi_d(x)\)，所以 \[ x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x) \]

第二条于是立刻得到，因为 \(\Phi_n\) 的根正是全部原始 \(n\) 次单位根，它们的个数正是 \[ \varphi(n) \]

第三条是 Gauss 的经典不可约性证明。设 \(\alpha\) 是一个原始 \(n\) 次单位根，\(f\) 是它在 \(\mathbb{Q}\) 上的极小多项式。只要证明每个与 \(n\) 互素的整数 \(r\) 都满足 \[ \alpha^r \] 仍是 \(f\) 的根，就说明 \(f\) 的根恰好是全部原始 \(n\) 次单位根，因此 \[ f=\Phi_n \] 从而 \(\Phi_n\) 在 \(\mathbb{Q}[x]\) 中不可约。

这一步通常用“取素数 \(p\nmid n\)，比较 \(f(x^p)\) 与 \(f(x)^p\) 在模 \(p\) 下的分解”来完成。结论一旦得到，就有 \[ [\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\deg \Phi_n=\varphi(n) \] 并由定理 14.8.1 得 \[ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \]

例 14.8.3

• \(\Phi_1(x)=x-1\)
• \(\Phi_2(x)=x+1\)
• \(\Phi_3(x)=x^2+x+1\)
• \(\Phi_4(x)=x^2+1\)
• \(\Phi_6(x)=x^2-x+1\)
• \(\Phi_{12}(x)=x^4-x^2+1\)

定义 14.9 根式扩张

定义 14.9.1 根式扩张

设 \(F/K\) 是扩张。若存在有限塔 \[ K=E_0 \subseteq E_1 \subseteq \cdots \subseteq E_m=F \] 使得每一步 \[ E_i=E_{i-1}(u_i) \] 且 \(u_i\) 的某个正整数次幂属于 \(E_{i-1}\)，则称 \(F/K\) 为根式扩张。

定义 14.9.2 方程可由根式求解

若多项式 \(f \in K[x]\) 的某个分裂域 \(E\) 被包含在某个根式扩张 \(F/K\) 中，则称方程 \[ f(x)=0 \] 可由根式求解。

定理 14.9.1

若 \(F/K\) 是根式扩张，\(E\) 是其中任意中间域，则 \[ \operatorname{Aut}_K(E) \] 是一个可解群。

因此：

• 若方程 \(f(x)=0\) 可由根式求解，则其伽罗瓦群一定可解

证明思路： 点击查看证明

设 \[ K=E_0\subseteq E_1\subseteq \cdots \subseteq E_m=F \] 是一个根式塔，并设 \[ E_i=E_{i-1}(u_i),\qquad u_i^{n_i}\in E_{i-1} \]

先看一步扩张。若 \(L=E(u)\) 且 \(u^n\in E\)，则任一 \(E\)-自同构都必须把 \(u\) 送到多项式 \[ x^n-u^n \] 的另一个根，所以只能形如 \[ u\mapsto \zeta u \] 其中 \(\zeta\) 是某个 \(n\) 次单位根。于是 \[ \operatorname{Aut}_E(L) \] 嵌入一个循环群，因而是阿贝尔群。

对整个根式塔，对自同构群逐步做限制映射，就得到一个正规列；每一步的商群都来自某个单步根式扩张的自同构群，因此都是阿贝尔群。于是整个群是可解群。

对任意中间域 \(E\)，把上面的分析应用到由 \[ E\cap E_0\subseteq E\cap E_1\subseteq \cdots \subseteq E\cap E_m=E \] 得到的诱导塔，结论不变，所以 \[ \operatorname{Aut}_K(E) \] 也是可解群。

若多项式 \(f(x)=0\) 可由根式求解，其分裂域嵌入某个根式扩张中，于是它的伽罗瓦群就是上面这种中间域的自同构群，因此必可解。

推论 14.9.2

设 \(f \in K[x]\)。若 \(f(x)=0\) 可由根式求解，则 \[ \operatorname{Gal}(f/K) \] 必为可解群。

定理 14.9.3

反过来，在适当的特征条件下也有部分逆命题：

若 \(E/K\) 是有限维伽罗瓦扩张，\(\operatorname{Gal}(E/K)\) 可解，并且 \[ \operatorname{char} K \nmid [E:K] \] 则存在根式扩张 \(F/K\)，使得 \[ F \supseteq E \supseteq K \]

进一步，若 \(f \in K[x]\) 是次数 \(n\) 多项式，且 \[ \operatorname{char} K \nmid n! \] 则 \[ f(x)=0 \text{ 可由根式求解 } \iff \operatorname{Gal}(f/K) \text{ 可解} \]

证明思路： 点击查看证明

设 \[ G=\operatorname{Gal}(E/K) \] 可解。取一条子正规列 \[ 1=G_m\triangleleft G_{m-1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_0=G \] 并细化到每个商群 \[ G_{i-1}/G_i \] 都是循环素数阶。由伽罗瓦对应，这给出一列中间域 \[ K=E_0\subseteq E_1\subseteq \cdots \subseteq E_m=E \] 其中每一步 \[ E_i/E_{i-1} \] 都是循环素数阶扩张。

在假设 \[ \operatorname{char} K \nmid [E:K] \] 下，这些素数阶扩张都是可分的。再把所需的单位根逐步添入基域后，可对每一步应用 Kummer 理论；若特征为正且恰等于该素数，则应改用 Artin–Schreier 理论。于是每一步都可以通过添入一个根式来实现。把这些步骤叠起来，就得到一个根式扩张 \[ F/K \] 其中 \[ F\supseteq E \]

对多项式情形，取 \(E\) 为 \(f\) 的分裂域。上面的结论给出“伽罗瓦群可解 \(\Rightarrow\) 可由根式求解”；反向则正是定理 14.9.1。因此在 \[ \operatorname{char} K \nmid n! \] 的条件下， \[ f(x)=0 \text{ 可由根式求解 } \iff \operatorname{Gal}(f/K) \text{ 可解} \]

命题 14.9.4 Abel 定理

对一般 \(n\) 次方程来说，只有 \[ n\le 4 \] 时，“一般 \(n\) 次方程”才可能有统一的根式解法。

换言之：

• 一般二次、三次、四次方程可由根式求解
• 一般五次及以上方程不可由根式求解

这并不意味着“所有五次方程都不可解”，而是说不存在对全部五次方程都适用的统一根式公式。

说明： 点击查看说明

这里的“不可解”本质上来自对一般 \(n\) 次方程伽罗瓦群的分析。

一般 \(n\) 次方程的伽罗瓦群是对称群 \(S_n\)。而当 \(n \ge 5\) 时， \[ S_n \] 不是可解群，所以不可能来自根式扩张。

因此伽罗瓦理论最终把“是否存在根式公式”这个经典方程问题，翻译成了一个纯群论问题。