代数结构与数理逻辑学习笔记1

参考书：

Algebra（Thomas W. Hungerford）GTM073 原版及冯克勤译版

抽象代数学（姚慕生）

近世代数引论（冯克勤 李尚志）

定义

定义 11.1 半群、幺半群、群、交换群

设 \(G\) 是一个非空集合，\(\cdot\) 是 \(G\) 上的二元运算，满足（以后 \(a \cdot b\) 简写为 \(ab\)）：

• 结合律：对于 \(G\) 中的任意 \(a,b,c\)，恒有 \(a(bc)=(ab)c\)

那么 \(G\) 是一个半群，如果半群 \(G\) 满足：

• 左右单位元（幺元）：存在 \(e\in G\) 使得对于 \(G\) 中的任意 \(a\)，恒有 \(ea=ae=a\)

那么 \(G\) 是一个幺半群，如果幺半群 \(G\) 满足：

• 逆元：对于 \(G\) 中的任意 \(a\)，存在 \(a^{-1}\in G\) 使得 \(aa^{-1}=a^{-1}a=e\)

那么 \(G\) 是一个群，如果群 \(G\) 满足：

• 交换律：对于 \(G\) 中的任意 \(a,b\)，恒有 \(ab=ba\)

那么 \(G\) 是一个交换群（Abel 群）

如果半群 \(G\) 满足：

• 交换律：对于 \(G\) 中的任意 \(a,b\)，恒有 \(ab=ba\)

那么 \(G\) 是一个交换半群（Abel 半群）

定理 11.1.1

如果 \(G\) 是幺半群，则单位元 \(e\) 是唯一的

证明：设 \(e\) 和 \(e'\) 都是 \(G\) 的单位元，则 \(e=e e' = e'\)，所以单位元 \(e\) 是唯一的

如果 \(G\) 是群，那么：

• 对于 \(c \in G\) 且 \(cc = c\) 则 \(c = e\)
• 左右消去律：对于 \(a,b,c \in G\)，如果 \(ab = ac\) 则 \(b = c\)；如果 \(ba = ca\) 则 \(b = c\)
• 逆元唯一：对于每个 \(a \in G\) 存在唯一的 \(a^{-1} \in G\) 使得 \(aa^{-1} = a^{-1}a = e\)
• 对于每个 \(a \in G\) 有 \((a^{-1})^{-1} = a\)
• 对于每个 \(a,b \in G\) 都有 \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\)
• 对于 \(a, b \in G\) 方程 \(ax = b\) 和 \(ya = b\) 都有唯一解，分别为 \(x = a^{-1}b\) 和 \(y = ba^{-1}\)

证明： 点击查看证明

证明：

（1） \[ cc = c \Rightarrow c^{-1}cc = c^{-1}c \Rightarrow c = e \]

（2） \[ ab = ac \Rightarrow a^{-1}ab = a^{-1}ac \Rightarrow b = c \]

\[ ba = ca \Rightarrow baa^{-1} = caa^{-1} \Rightarrow b = c \]

（3）

设 \(a \in G\)，假设存在 \(a^{-1}\) 和 \(a'^{-1}\) 都是 \(a\) 的逆元，则 \[ aa^{-1} = a'^{-1}a = e \Rightarrow a'^{-1} = a'^{-1}aa^{-1} = e a^{-1} = a^{-1} \]

（4）

\(a^{-1}\) 是 \(a\) 的逆元，所以 \(aa^{-1} = a^{-1}a = e\)

又 \((a^{-1})^{-1}\) 是 \(a^{-1}\) 的逆元，所以 \(a^{-1}(a^{-1})^{-1} = (a^{-1})^{-1}a^{-1} = e\)

根据左消去律或者右消去律，得到 \((a^{-1})^{-1} = a\)

（5）

设 \(a,b \in G\)，则 \[ (ab)(b^{-1}a^{-1}) = a(bb^{-1})a^{-1} = aea^{-1} = aa^{-1} = e \]

所以 \(b^{-1}a^{-1}\) 是 \(ab\) 的逆元，根据逆元唯一性，得到 \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\)

（6）

设 \(a,b \in G\)，则 \[ ax = b \Rightarrow a^{-1}ax = a^{-1}b \Rightarrow x = a^{-1}b \]

解唯一：设 \(x'\) 也是方程 \(ax = b\) 的解，则 \(ax' = b\)，所以 \(a^{-1}ax' = a^{-1}b\)，得到 \(x' = a^{-1}b\)，所以解唯一

另一侧同理

定理 11.1.2

设 \(G\) 是半群，则 \(G\) 是群的充要条件为下面两条成立：

• （左单位元）存在一个元素 \(e \in G\) 使得对于 \(G\) 中的任意 \(a\)，恒有 \(ea = a\)
• （左逆元）对于 \(G\) 中的任意 \(a\)，存在一个元素 \(a^{-1} \in G\) 使得 \(a^{-1}a = e\)

如果改为右单位元和右逆元，则同样成立

证明： 点击查看证明

由于 $$ (aa^{-1})(aa{-1}) = a(a^{-1}a)a{-1} \ = a(ea^{-1}) \ = aa^{-1}

$$ 又如果 \(c\in G\)，\(cc = c\)，则 \(c^{-1}cc=c^{-1}c\) 所以 \(c = e\)

所以 \(aa^{-1}=e\)

故任意 \(a \in G\) ，\(a\) 的左逆元也是它的右逆元

因此 \[ ae = aa^{-1}a \\ = ea = a \] 所以 \(e\) 是 \(G\) 的右单位元

所以 \(G\) 是群

定理 11.1.3

假设 \(G\) 是半群，如果对于 \(G\) 中的任意 \(a,b\)，方程 \(ax = b\) 和 \(ya = b\) 都有解，则 \(G\) 是群

证明： 点击查看证明

设 \(a,b \in G\)，则方程 \(ax = b\) 有解，所以 \(ax=a\) 有解

设 \(e_r=x_0\)，对任意 \(g \in G\)，有 \(ya = g\) 有解，存在 \(y_ga=g\)

则 \[ ge_r = (y_ga)e_r = y_g(ae_r) = y_ga =g \] 因此 \(e_r\) 对每个 \(g \in G\) 都有 \(ge_r = g\)，所以 \(e_r\) 是 \(G\) 的右单位元

同理存在一个左单位元 \(e_l\)

则 \(e_le_r = e_r\) 且 \(e_le_r=e_l\)，所以 \(e_l = e_r\)，设 \(e = e_l = e_r\)，则 \(e\) 是 \(G\) 的单位元

对方程 \(ax = e\) 的解 \(x\)，称 \(x\) 为 \(a\) 的左逆

同理对方程 \(ya = e\) 的解 \(y\)，称 \(y\) 为 \(a\) 的右逆

下面证明 \(x=y\) \[ y = ye = y(ax) = (ya)x = ex = x \] 所以对任意的 \(a \in G\)，存在 \(a^{-1} = x = y\) 使得 \(aa^{-1} = a^{-1}a = e\)

所以 \(G\) 是群

定理 11.1.4

设 \(R(\sim)\) 为幺半群 \(G\) 上的一个等价关系，并且对所有的 \(a_i,b_i \in G\) 由 \(a_1 \sim a_2\) 且 \(b_1 \sim b_2\) 可以导出 \(a_1b_1 \sim a_2b_2\)，则 \(G\) 的商集（所有等价类的集合） \(R =[G/\sim]\) 对于二元运算 \([a][b] = [ab]\) 是一个幺半群

如果 \(G\) 是一个阿贝尔群，那么 \(R\) 也是一个阿贝尔群

证明： 点击查看证明

结合律：

\([a]([b][c]) = [a]([bc])=[a(bc)]=[(ab)c]=[ab][c]=([a][b])[c]\)

单位元：

\([e][a] = [ea] = [a]\)，\([a][e] = [ae] = [a]\)，所以 \([e]\) 是 \(R\) 的单位元

所以 \(R\) 是幺半群

交换律：

\([a][b] = [ab] = [ba] = [b][a]\)

所以\(R\) 是阿贝尔群

同余关系：我们称 \(a \sim b\) 是 \(G\) 上的同余关系，如果对于 \(G\) 中的任意 \(a_1,a_2,b_1,b_2\)，由 \(a_1 \sim a_2\) 且 \(b_1 \sim b_2\) 可以导出 \(a_1b_1 \sim a_2b_2\)

广义结合律和广义交换律：

广义结合律的证明可以参考笔记1

广义交换律必须在广义结合律的基础上

定理 11.1.5 广义交换律

设 \(G\) 是一个交换半群，则对于 \(G\) 中的任意 \(n\) 个元素 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 和任意排列 \(\sigma\)，恒有 \[ a_1a_2\cdots a_n = a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\cdots a_{\sigma(n)} \]

证明： 点击查看证明

数学归纳法，\(n=2\) 时为交换律，假设 \(n-1\) 时结论成立：

设 \(\sigma(n)=m\)，在原乘积 \(a_1a_2\cdots a_n\) 中将 \(a_m\) 移到最后，得到 \(a_1 \dots a_{m-1}a_{m+1} \dots a_na_m\)，由前 \(n-1\) 个元素的归纳假设可以重排为 \(a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\cdots a_{\sigma(n-1)}a_m\)，所以 \(a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\cdots a_{\sigma(n-1)}a_m = a_{\sigma(1)}a_{\sigma(2)}\cdots a_{\sigma(n-1)}a_{\sigma(n)}\)

定义 11.2 群中元素的幂

设 \(G\) 是一个群，\(a \in G\)，对于 \(n \in \mathbb{Z}\) 定义 \(a^n\) 如下：

• \(a^0 = e\)
• \(a^n = a^{n-1}a\) 当 \(n > 0\) 时
• \(a^n = (a^{-1})^{-n}\) 当 \(n < 0\) 时

定理 11.2.1 群中元素的幂的性质

设 \(G\) 是一个群，\(a,b \in G\)，\(m,n \in \mathbb{Z}\)，则：

• \(a^ma^n = a^{m+n}\)
• \((a^m)^n = a^{mn}\)

证明： 点击查看证明

（1）

当 \(m,n \ge 0\) 时，\(a^ma^n = a^{m+n}\) 是定义的直接结果

当 \(m,n < 0\) 时，\(a^ma^n = (a^{-1})^{-m}(a^{-1})^{-n} = (a^{-1})^{-(m+n)} = a^{m+n}\)

当 \(m \ge 0\) 且 \(n < 0\) 时，设 \(k = -n > 0\)，则 \[ a^ma^n = a^m(a^{-1})^k = a^{m-1}aa^{-1}(a^{-1})^{k-1}\\ = a^{m-1}(a^{-1})^{k-1} = a^{(m-1)+(n+1)} = a^{m+n} = a^{m+n} \] （2）

当 \(m,n \ge 0\) 时，\((a^m)^n = a^{mn}\) 是定义的直接结果

当 \(m,n < 0\) 时，设 \(k = -n > 0\)，则 \[ (a^m)^n = ((a^{-1})^{-m})^{-k} = (a^{-1})^{mk} = a^{mn} \] 当 \(m \ge 0\) 且 \(n < 0\) 时，设 \(k = -n > 0\)，则 \[ (a^m)^n = (a^m)^{-k} = ((a^m)^{-1})^k = (a^{-m})^k = a^{-mk} = a^{mn} \]

定义 11.3 同态、同构

设 \(G\) 和 \(H\) 是两个群，如果存在一个函数 \(\varphi : G \to H\) 满足对于 \(G\) 中的任意 \(a,b\)，恒有 \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\)，则称 \(\varphi\) 是从 \(G\) 到 \(H\) 的一个同态（homomorphism）

如果 ：

• \(\varphi\) 是单射，则称 \(\varphi\) 是一个单同态（monomorphism）
• \(\varphi\) 是满射，则称 \(\varphi\) 是一个满同态（epimorphism）
• \(\varphi\) 是双射，则称 \(\varphi\) 是一个同构（isomorphism）
• 同构映射 \(\varphi\) 满足\(H = G\)，则称 \(\varphi\) 是 \(G\) 的一个自同构（automorphism）

定义 11.4 核、象、原象

设 \(\varphi : G \to H\) 是从群 \(G\) 到群 \(H\) 的一个同态

集合 \(\mathrm{Ker} \varphi = \{a \in G | \varphi(a) = e_H\}\) 称为 \(\varphi\) 的核（kernel）

集合 \(\mathrm{Im} \varphi = \{\varphi(a) | a \in G\}\) 称为 \(\varphi\) 的象（image）

集合 \(\varphi^{-1}(B) = \{a \in G | \varphi(a) \in B\}\) 称为集合 \(B\) 的原象（preimage）

定理 11.4.1

设 \(f: G \to H\) 是群同态，则

• \(f\) 是单同态\(\iff\) \(\mathrm{Ker} f = \{e_G\}\)
• \(f\) 为同构 \(\iff\) 存在同态 \(f^{-1}:H \to G\) 使得 \(f^{-1}f = 1_G\) 且 \(ff^{-1} = 1_H\)

证明： 点击查看证明

（1）

\(\Rightarrow\)：

设 \(a \in \mathrm{Ker} f\)，则 \(f(a) = e_H\)，又 \(f(e_G) = e_H\)，所以 \(f(a) = f(e_G)\)，由于 \(f\) 是单同态，所以 \(a = e_G\)，所以 \(\mathrm{Ker} f = \{e_G\}\)

\(\Leftarrow\)：

设 \(a,b \in G\)，如果 \(f(a) = f(b)\)，则 \(f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = e_H\)，所以 \(ab^{-1} \in \mathrm{Ker} f\)，所以 \(ab^{-1} = e_G\)，所以 \(a = b\)，所以 \(f\) 是单同态

（2）

\(\Rightarrow\)：

设 \(h \in H\)，由于 \(f\) 是满同态，所以存在 \(g \in G\) 使得 \(f(g) = h\)，定义 \(f^{-1}(h) = g\)，则对于 \(G\) 中的任意 \(a\)，有 \(f^{-1}f(a) = f^{-1}(f(a)) = a\)，又对于 \(H\) 中的任意 \(h\)，有 \(ff^{-1}(h) = f(f^{-1}(h)) = h\)，所以 \(f^{-1}f = 1_G\) 且 \(ff^{-1} = 1_H\)

\(\Leftarrow\)：

设 \(a,b \in G\)，则 \[ f^{-1}f(ab) = f^{-1}(f(a)f(b)) = f^{-1}f(a)f^{-1}f(b) = ab \]

则 \(f(ab) = ff^{-1}f(ab) = f^{-1}f(a)f^{-1}f(b) = f(a)f(b)\)，所以 \(f\) 是同态

定义 11.5 子群、生成元、循环子群

假设\(G\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的一个子集，如果 \(H\) 本身也是一个群并且对于 \(G\) 中的二元运算是封闭的，那么称 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群（subgroup），表示为 \(H < G\)

一般来说，要验证三个条件：

• \(H\) 是非空的
• 任意 \(a,b \in H\) 有 \(ab \in H\)（封闭性）
• 任意 \(a \in H\) 有 \(a^{-1} \in H\)（逆元存在）

定理 11.5.1

设 \(H\) 是群 \(G\) 的非空子集，则

\(H\) 是 \(G\) 的子群 \(\iff\) 对所有的 \(a,b \in H\)，恒有 \(ab^{-1} \in H\)

证明： 点击查看证明

\(\Rightarrow\)：显然是对的

\(\Leftarrow\)：由于存在元素 \(a\in H\)，所以 \(e=aa^{-1} \in H\)

所以对于任意 \(b \in H\)，\(b^{-1}=eb^{-1} \in H\)

若 \(a,b \in H\)，则 \(b^{-1} \in H\)，则 \(ab = a(b^{-1})^{-1} \in H\)

结合律显然满足

所以 \(H\) 是 \(G\) 的子群

定理 11.5.2

设 \(G\) 是一个群，\(\{H_i | i \in I\}\) 是非空的 \(G\) 的子群集合，则 \(\bigcap_{i \in I} H_i\) 是 \(G\) 的子群

证明： 点击查看证明

非空：每个 \(H_i\) 都是子群，所以每个 \(H_i\) 都包含 \(G\) 的单位元 \(e\)，所以 \(\bigcap_{i \in I} H_i\) 也包含 \(e\)，所以 \(\bigcap_{i \in I} H_i\) 是非空的

封闭性：设 \(a,b \in \bigcap_{i \in I} H_i\)，则对于每个 \(i \in I\)，\(a,b \in H_i\)，由于 \(H_i\) 是子群，所以 \(ab^{-1} \in H_i\)，所以 \(ab^{-1} \in \bigcap_{i \in I} H_i\)

逆元存在：设 \(a \in \bigcap_{i \in I} H_i\)，则对于每个 \(i \in I\)，\(a \in H_i\)，由于 \(H_i\) 是子群，所以 \(a^{-1} \in H_i\)，所以 \(a^{-1} \in \bigcap_{i \in I} H_i\)

设 \(G\) 是群，\(S\) 是 \(G\) 的一个子集，则包含 \(S\) 的所有子群的交 \(\bigcap_{S \subseteq H < G} H\) 是包含 \(S\) 的最小的子群，称为 \(S\) 在 \(G\) 中生成的子群，记为 \(\langle S \rangle\)

\(S\) 中的元素叫做子群 \(\langle S \rangle\) 的生成元

如果 \(G = \langle g_1, \dots, g_n \rangle\)，则称 \(G\) 是有限生成的，如果 \(g \in G\) ，子群 \(\langle g \rangle\) 称由 \(g\) 生成的循环子群（cyclic subgroup）

定理 11.5.3

设 \(G\) 是一个群，\(S\) 是 \(G\) 的一个子集，则 \(\langle S \rangle = \{a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k} | k \in \mathbb{Z}^+, a_i \in S, n_i \in \mathbb{Z}\}\)

证明： 点击查看证明

设 \(H = \{a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k} | k \in \mathbb{Z}^+, a_i \in S, n_i \in \mathbb{Z}\}\)，则 \(H\) 是包含 \(S\) 的子群

非空：由于 \(S\) 是 \(G\) 的子集，所以 \(S\) 中至少有一个元素 \(a\)，所以 \(a^0 = e \in H\)，所以 \(H\) 是非空的

封闭性：设 \(x,y \in H\)，则存在 \(k,l \in \mathbb{Z}^+\)，\(a_i,b_j \in S\)，\(n_i,m_j \in \mathbb{Z}\) 使得 \(x = a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k}\)，\(y = b_1^{m_1}b_2^{m_2}\cdots b_l^{m_l}\)，则 \[ xy = a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k}b_1^{m_1}b_2^{m_2}\cdots b_l^{m_l} \in H \] 逆元存在：设 \(x \in H\)，则存在 \(k \in \mathbb{Z}^+\)，\(a_i \in S\)，\(n_i \in \mathbb{Z}\) 使得 \(x = a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k}\)，则 \[ x^{-1} = (a_1^{n_1}a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k})^{-1} = a_k^{-n_k}\cdots a_2^{-n_2}a_1^{-n_1} \in H \] 所以 \(H\) 是包含 \(S\) 的子群

又由于 \(\langle S \rangle\) 是包含 \(S\) 的最小的子群，所以 \(\langle S \rangle \subseteq H\)，又由于 \(H\) 是包含 \(S\) 的子群，所以 \(H \subseteq \langle S \rangle\)，所以 \(\langle S \rangle = H\)

若 \(\{H_i | i \in I\}\) 是 \(G\) 的子群族，\(\bigcup _{i \in I}H_i\) 一般不是 \(G\) 的子群， \(\langle \bigcup _{i \in I}H_i \rangle\) 是 \(G\) 的子群，并且是包含 \(\bigcup _{i \in I}H_i\) 的最小的子群

如果 \(H\) 和 \(K\) 是 \(G\) 的子群，则 \(\langle H \cup K \rangle\) 是包含 \(H\) 和 \(K\) 的最小的子群，记为 \(H\lor K\)，称为 \(H\) 和 \(K\) 的并

定义 11.6 陪集

设 \(G\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的一个子群，\(a \in G\)，则集合 \(aH = \{ah | h \in H\}\) 称为 \(H\) 的左陪集（left coset），集合 \(Ha = \{ha | h \in H\}\) 称为 \(H\) 的右陪集（right coset）

\(H\) 是群 \(G\) 的一个子群，\(a,b \in G\)，若 \(ab^{-1} \in H\)，称 \(a\) 模 \(H\) 右同余 \(b\)，表示为 \(a \equiv _{r}b \pmod{H}\)，若 \(a^{-1}b \in H\)，称 \(a\) 模 \(H\) 左同余 \(b\)，表示为 \(a \equiv _{l}b \pmod{H}\)

如果 \(G\) 是 Abel 群，模 \(H\) 的左同余和右同余是等价的

定理 11.6.1

\(H\) 是群 \(G\) 的一个子群，则

• 模 \(H\) 左（右）同余是 \(G\) 上的等价关系
• \(a \in G\) 对于模 \(H\) 左（右）同余的等价类是 \(aH\)（\(Ha\)）
• 对于所有 \(a\in G\)，有 \(|Ha| = |H| = |aH|\)

证明： 点击查看证明

为了方便证明，本证明中将 \(a \equiv_{l} b \pmod{H}\) 简记为 \(a \equiv b\)

（1）

设 \(a,b,c \in G\)，由于 \(aa^{-1} = e \in H\)，所以\(a \equiv a\) （自反性）

如果 \(a \equiv b\)，则 \(a^{-1}b \in H\)，所以 \(b^{-1}a = (a^{-1}b)^{-1} \in H\)，所以 \(b \equiv a\) （对称性）

如果 \(a \equiv b\) 且 \(b \equiv c\)，则 \(a^{-1}b \in H\) 且 \(b^{-1}c \in H\)，所以 \(a^{-1}c = a^{-1}bb^{-1}c \in H\)，所以 \(a \equiv c\) （传递性）

（2） \[ \{x \in G | x \equiv a\} = \{x \in G | a^{-1}x \in H\} = \{ah | h \in H\} = aH \] （3）

设 \(a \in G\)，则 \(aH = \{ah | h \in H\}\)，由于 \(H\) 是子群，所以对于 \(H\) 中的任意 \(h_1,h_2\)，如果 \(h_1 \neq h_2\)，则 \(ah_1 \neq ah_2\)，所以 \(|aH| = |H|\)

又由于 \(H\) 是子群，所以对于 \(H\) 中的任意 \(h_1,h_2\)，如果 \(h_1 \neq h_2\)，则 \(h_1a \neq h_2a\)，所以 \(|Ha| = |H|\)

定理 11.6.2

\(H\) 是群 \(G\) 的子群，则

• \(G\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中全体左（右）陪集的并
• \(H\) 在 \(G\) 中的两个左（右）陪集要么不交，要么相等
• 对于所有 \(a,b \in G\)，\(Ha = Hb \iff ab^{-1} \in H\)，\(aH = bH \iff a^{-1}b \in H\)
• 令 \(\mathcal{R}\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中所有不同的右陪集组成的集合，\(\mathcal{L}\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中所有不同的左陪集组成的集合，则 \(|\mathcal{R}| = |\mathcal{L}|\)

证明： 点击查看证明

（1）

设 \(a \in G\)，则 \(a \equiv a\)，所以 \(a \in aH\)，所以 \(G\) 是 \(H\) 在 \(G\) 中全体左陪集的并

（2）

设 \(a,b \in G\)，如果 \(aH \cap bH \neq \emptyset\)，则存在 \(x \in aH \cap bH\)，所以存在 \(h_1,h_2 \in H\) 使得 \(x = ah_1 = bh_2\)，所以 \(a = bh_2h_1^{-1}\)，所以 \(aH = bH\)

（3）

设 \(a,b \in G\)，如果 \(Ha = Hb\)，那么存在 \(h \in H\) 使得 \(hb = a\)，所以 \(ab^{-1} = hb b^{-1} = h \in H\)

（4）

设 \(\mathcal{R} = \{Ha_i | i \in I\}\)，\(\mathcal{L} = \{a_jH | j \in J\}\)，则对于每个 \(i \in I\)，存在 \(j \in J\) 使得 \(Ha_i = a_jH\)，所以 \(|\mathcal{R}| \le |\mathcal{L}|\)，又对于每个 \(j \in J\)，存在 \(i \in I\) 使得 \(a_jH = Ha_i\)，所以 \(|\mathcal{L}| \le |\mathcal{R}|\)，所以 \(|\mathcal{R}| = |\mathcal{L}|\)

定义 11.7 子群的指数

设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，\(H\) 在 \(G\) 中的左（右）陪集的个数（势）称为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数（index），记为 \([G:H]\)

根据上面的结论可知，\([G:H]\) 的大小与 \(H\) 生成的是左陪集还是右陪集无关

定理 11.7.1

\(K,H,G\)是群，并且 \(K < H < G\)，则 \([G:K] = [G:H][H:K]\)

并且如果任意两个指数是有限的，第三个也是有限的

证明： 点击查看证明

\(G = \bigcup_{i \in I}Ha_i\)，其中 \(a_i \in G\)，\(|I| = [G:H]\)，

\(H = \bigcup_{j \in J}Kb_j\)，其中 \(b_j \in H\)，\(|J| = [H:K]\)

则 \(G = \bigcup_{i \in I}\bigcup_{j \in J}Kb_ja_i\)，其中 \(b_ja_i \in G\)，

如果陪集 \(Kb_ja_i\) 是两两不交，则 \([G:K] = |I \times J| = |I||J| = [G:H][H:K]\)

如果 \(Kb_ja_i = Kb_ra_t\)，则 \(b_ja_i = kb_ra_t\)，由于 \(b_j,b_r,k \in H\)，所以

\(Ha_i=Hb_ja_i=Hkb_ra_t=Ha_t\)，所以 \(i = t\)，于是 \(b_j=kb_r\)

因此 \(Kb_j = Kkb_r = Kb_r\)，所以 \(j = r\)，因此陪集 \(Kb_ja_i\) 是两两不交的

所以成立

定理 11.7.2 Lagrange 定理

设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，则 \(|G| = [G:H]|H|\)，特别的，如果 \(G\) 是有限群，则 \(g\in G\)的阶 \(|\langle g \rangle|\) 整除 \(|G|\)

证明： 点击查看证明

设 \(H\) 在 \(G\) 中的左陪集为 \(Ha_1,Ha_2,\cdots,Ha_n\)，其中 \(a_i \in G\)，则 \(G = \bigcup_{i=1}^n Ha_i\)，又由于 \(H\) 是子群，所以对于 \(H\) 中的任意 \(h_1,h_2\)，如果 \(h_1 \neq h_2\)，则 \(h_1a_i \neq h_2a_i\)，所以每个陪集的大小都是 \(|H|\)，所以 \(|G| = n|H| = [G:H]|H|\)

设 \(g \in G\)，则 \(\langle g \rangle\) 是 \(G\) 的一个子群，所以 \(|G| = [G:\langle g \rangle]|\langle g \rangle|\)，所以 \(|\langle g \rangle|\) 整除 \(|G|\)

定理 11.7.3

设 \(H\) 和 \(K\) 都是 \(G\) 的有限子群，则 \(|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}\)

证明： 点击查看证明

\(C = H \cap K\) 是 \(K\) 的子群，指数是 \(\frac{|K|}{|H\cap K|}\)，所以 \(K\) 可以分成 \(\frac{|K|}{|H\cap K|}\) 个 \(C\) 的陪集，设为 \(Ck_1,Ck_2,\cdots,Ck_m\)，其中 \(m = \frac{|K|}{|H\cap K|}\)

由于 \(HC = H\)，所以 \(HK\) 是非交并 \(\bigcup_{i = 1}^{m}Hk_i\)，所以 \(|HK|=m|H|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}\)

定义 11.8 正规子群

如果 \(N\) 是 \(G\) 的子群，满足下面的等价条件其中一个，那么 \(N\) 就是 \(G\) 的一个正规子群（normal subgroup），记为 \(N \triangleleft G\)：

• 模 \(N\) 的左右同余一致，即对于 \(G\) 中的任意 \(a,b\)，\(a \equiv _{l} b \pmod{N}\) 当且仅当 \(a \equiv _{r} b \pmod{N}\)，或者说对于 \(G\) 中的任意 \(a,b\)，\(a^{-1}b \in N\) 当且仅当 \(ab^{-1} \in N\)
• \(N\) 在 \(G\) 中的每个左陪集都是 \(N\) 在 \(G\) 中的右陪集，即对于 \(G\) 中的任意 \(a\)，存在 \(b\) 使得 \(aN = Nb\)
• 对于每个 \(a \in G\)，恒有 \(aN = Na\)
• 对于每个 \(a \in G\)，\(aNa^{-1} \subset N\)
• 对于每个 \(a \in G\)，\(aNa^{-1} = N\)

下面证明这五个条件是等价的：

证明： 点击查看证明

（1）\(\Rightarrow\)（3）：

对任意 \(n \in N\), 取 \(b = an\), 则 \(a^{-1}b = n \in N\), 由 (1) 得 \(ab^{-1} \in N\), 即 \(a(an)^{-1} = an^{-1}a^{-1} \in N\), 所以 \(an^{-1}a^{-1} \in N\), 即 \(ana^{-1} \in N\)

因此 \(an = (ana^{-1})a \in Na\), 故 \(aN \subseteq Na\)。

同理可得 \(Na \subseteq aN\), 所以 \(aN = Na\)

（3）\(\Rightarrow\)（2）：

如果 \(aN=Nb,b \in G\)，则 \(a \in Nb \cap Na\)，由于两个右陪集要么不交，要么相等，所以 \(aN = Nb\)，所以 \(Nb = Na\)

（3）\(\Rightarrow\)（4）：

设 \(a \in G\)，则 \(aN = Na\)，所以对于 \(N\) 中的任意 \(n\)，存在 \(n' \in N\) 使得 \(an = n'a\)，所以 \(ana^{-1} = n' \in N\)，所以 \(aNa^{-1} \subseteq N\)

（4）\(\Rightarrow\)（5）：

设 \(a \in G\)，则 \(aNa^{-1} \subseteq N\)，又由于 \(N\) 是子群，所以对于 \(N\) 中的任意 \(n\)，\(a^{-1}na \in N\)，所以 \(a^{-1}Na \subseteq N\)，所以 \(N = a(a^{-1}Na)a^{-1} \subseteq aNa^{-1}\)，所以 \(aNa^{-1} = N\)

（5）\(\Rightarrow\)（1）：

设 \(a,b \in G\)，如果 \(a \equiv _{l} b \pmod{N}\)，则 \(a^{-1}b \in N\)，所以 \(a^{-1}b = n\)，所以 \(ab^{-1} = an^{-1}a^{-1} \in N\)，所以 \(a \equiv _{r} b \pmod{N}\)

如果 \(a \equiv _{r} b \pmod{N}\)，则 \(ab^{-1} \in N\)，所以 \(ab^{-1} = n\)，所以 \(a^{-1}b = a^{-1}nan^{-1}a = a^{-1}na \in N\)，所以 \(a \equiv _{l} b \pmod{N}\)

定理 11.8.1

如果 \(G\) 有两个子群 \(N\) 和 \(M\)，使得 \(N \triangleleft M,M \triangleleft G\)，不能推出 \(N \triangleleft G\)

证明： 点击查看证明

设 \(G = S_4\)，\(M = A_4\)，\(N = \{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\)，则 \(N\) 是 \(M\) 的一个正规子群，\(M\) 是 \(G\) 的一个正规子群，但是 \(N\) 不是 \(G\) 的一个正规子群

如果 \(N\) 在 \(G\) 中正规，则 \(N\) 在 \(G\) 中的每个包含 \(N\) 的子群也正规

证明： 点击查看证明

设 \(N < H < G\)，则对于 \(H\) 中的任意 \(h\)，由于 \(N\) 在 \(G\) 中正规，所以 \(hNh^{-1} = N\)，所以 \(N\) 在 \(H\) 中正规

定理 11.8.2

设 \(K\) 和 \(N\) 都是群 \(G\) 子群，并且 \(N\) 在 \(G\) 中正规，则

• \(N\cap K\) 是 \(K\) 的正规子群
• \(N\) 是 $N K $ 的正规子群（\(N \lor K = \langle N \cup K \rangle\)）
• \(NK = N \lor K = KN\)
• 如果 \(K\) 在 \(G\) 中正规并且 \(K \cap N = \langle e \rangle\)，则对所有 \(k \in K,n \in N\)，\(nk = kn\)

证明： 点击查看证明

（1）如果 \(n \in N \cap K\) 并且 \(a \in K \subseteq G\)，由于 \(N\) 正规，则 \(ana^{-1} \in N\)，由于 \(K\) 为 \(G\) 子群，则 $ana^{-1}K \(，则\)ana^{-1} N K$，所以 \(N \cap K\) 是 \(K\) 的正规子群

（2）显然，由于 \(N < N \lor K\)

（3）由于 \(NK \in N \lor K\)，任意 \(x \in N \lor K\)，有 \(x = n_1k_1n_2k_2 \dots n_rk_r\)，其中 \(n_i \in N, k_i \in K\)，由于 \(N\) 在 \(G\) 中正规，所以 \(k_1^{-1}n_2k_1 \in N\)，所以 \(n_1k_1n_2k_2 \dots n_rk_r = n_1(k_1n_2k_1^{-1})k_1k_2 \dots n_rk_r\)，同理可得 \(x = n'k'\)，其中 \(n' \in N, k' \in K\)，所以 \(N \lor K \subseteq NK\)，又由于 \(NK \subseteq N \lor K\)，所以 \(NK = N \lor K\)

类似地有 \(KN = N \lor K\)

（4） 设 \(k \in K,n \in N\)，则 \(nkn^{-1} \in K\)，同理 \(knk^{-1} \in N\)，则 \((nkn^{-1})k^{-1}=n(kn^{-1}k^{-1}) \in N \cap K = \langle e \rangle\)

所以 \(nkn^{-1}k^{-1} = e\)，所以 \(nk = kn\)

定理 11.8.3

如果 $N G $，而 \(G/N\) 是 \(N\) 在 \(G\) 中全体陪集构成的集合，则对于所有 \((aN)(bN)=abN\) 所给出的二元运算，\(G/N\) 是 \([G:N]\) 阶群

证明： 点击查看证明

实际上，陪集 \(aN\) 是模 \(N\) 同余关系下 \(a\in G\) 的等价类，所以只需要证明模 \(N\) 同余是同余关系即可

即证明 \(a_1 \equiv _{l}a \pmod{N}\) 和 \(b_1 \equiv _{l}b \pmod{N}\) 可以推出 \(a_1b_1 \equiv _{l}ab \pmod{N}\)

设 \(a_1 \equiv _{l}a \pmod{N}\) 和 \(b_1 \equiv _{l}b \pmod{N}\)，则 \(a^{-1}a_1 = n_1 \in N\) 和 \(b^{-1}b_1 = n_2 \in N\)

则 \((a_1b_1)(ab)^{-1} = a_1b_1b^{-1}a^{-1}=an_2a^{-1}\)

由于 \(N\) 在 \(G\) 中正规，则 \(a_1N = Na_1\)，所以 \(a_1n_2 = n_3a_1\)

所以 \((a_1b_1)(ab)^{-1}=(a_1n_2)a^{-1}=n_3a_1a^{-1}=n_3n_1 \in N\)

所以 \(a_1b_1 \equiv _{l}ab \pmod{N}\)

定义 11.9 商群

设 \(N\) 是群 \(G\) 的一个正规子群，则 \(G/N\) 是 \(N\) 在 \(G\) 中全体陪集构成的集合，并且对于所有 \((aN)(bN)=abN\) 所给出的二元运算，\(G/N\) 是一个群，称为 \(G\) 模 \(N\) 的商群（quotient group）

定理 11.9.1

如果 \(f:G\rightarrow H\) 是群同态。则 \(f\) 的核是 \(G\) 的正规子群

反之，如果 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群，则映射 \(\pi:G \rightarrow G/N,\pi(a)=aN\) 是满同态，并且它的核为 \(N\)

证明： 点击查看证明

\(x \in \text{Ker}f,a \in G\)，则 \(f(a^{-1}xa) = f(a)^{-1}f(x)f(a) = f(a)^{-1}e_Hf(a) = e_H\)，所以 \(a^{-1}xa \in \text{Ker}f\)，所以 \(\text{Ker}f\) 是 \(G\) 的正规子群

映射 \(\pi:G \rightarrow G/N\) 显然是满射，由于\(\pi(ab) = (ab)N = (aN)(bN) = \pi(a)\pi(b)\)，所以 \(\pi\) 是同态

\(\text{Ker}\pi = \{ a \in G | \pi(a)=aN=N \}=\{ a\in G | aN=N \}= \{ a \in G | a \in N \} = N\)

这里把映射 \(\pi\) 称为正则满同态（正则射影）

定理 11.9.2 第一同构定理

设 \(f:G\rightarrow H\) 是群同态，则 \(G/\text{Ker}f \cong \text{Im}f\)

证明： 点击查看证明

引理：

如果 \(f: G \rightarrow H\) 是群同态，\(N\) 是 \(G\) 的正规子群，并且 \(N \subseteq \text{Ker}f\)，则存在唯一的群同态 \(\bar{f}: G/N \rightarrow H\) 使得对于所有 \(a \in G,\bar{f}(aN)=f(a)\)，此外\(\text{Im}f=\text{Im}\bar{f}，\text{Ker}f/N=\text{Ker}\bar{f}\)，\(\bar{f}\) 是同构 \(\iff\) \(N = \text{Ker}f\) 且 \(f\) 为满同态

证明：

如果 \(b \in aN\)，则 $b=an,nN $，并且 \(f(b) = f(an)=f(a)f(n)=f(a)e=f(a)\)，所以 \(f\) 在陪集 \(aN\) 上的所有元素都得到相同的值，定义函数 \(\bar{f}:G/N \rightarrow H,\bar{f}(aN)=f(a)\)

由于 \(\bar{f}(aNbN)=\bar{f}(abN)=f(ab)=f(a)f(b)=\bar{f}(aN)\bar{f}(bN)\)

则 \(\bar{f}\) 是同态，因此显然有 \(\text{Im}f=\text{Im}\bar{f}\)

由于 \(aN \in \text{Ker}\bar{f} \iff f(a)=e \iff a \in \text{Ker}f\)

所以 \(\text{Ker}\bar{f} = \{ aN | a \in \text{Ker}f \} = (\text{Ker}f)/N\)

由于 \(\text{Ker}f = N\)

所以 \(\text{Ker}\bar{f} = (\text{Ker}f)/N\) 是 \(G/N\) 的平凡子群

则 \(\bar{f}\) 是唯一的，\(\bar{f}\) 是满同态，又由定理 11.4.1 知 \(f\) 是单同态

所以 \(\bar{f}\) 是同构

接下来继续证明

由于 \(f:G \rightarrow \text{Im}f\) 是满同态，则使用上面的引理用于 \(N = \text{Ker}f\)，有：

存在唯一的群同态 \(\bar{f}: G/\text{Ker}f \rightarrow \text{Im}f\) 使得对于所有 \(a \in G,\bar{f}(a\text{Ker}f)=f(a)\)，此外\(\text{Im}f=\text{Im}\bar{f}，\text{Ker}f/\text{Ker}f=\text{Ker}\bar{f}\)，\(\bar{f}\) 是同构 \(\iff\) \(\text{Ker}f = \text{Ker}f\) 且 \(f\) 为满同态

所以 \(\bar{f}\) 是同构，所以 \(G/\text{Ker}f \cong \text{Im}f\)

定理 11.9.3 第二同构定理

如果 \(K\) 和 \(N\) 是 \(G\) 子群，\(N\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(K/(N\cap K) \cong NK/N\)

证明： 点击查看证明

由于 \(NK= N \lor K\)，则 \(N \triangleleft NK = N \lor K\)，

考虑合成映射： \(K \rightarrow NK \rightarrow NK/N\) \(f\) 是一个同态，核为 \(K \cap N\)

则根据第一同构定理

\(\bar{f}: K/K\cap N \cong \text{Im}f\)，因此 \(NK/N\) 中每个元素都能表示为 \(nkN(n \in N,k \in K)\)

由于 \(N\) 是正规的，所以 \(nk=kn_1,n_1 \in N\)，所以 \(nkN = kn_1N = kN = f(k)\)

因此 \(f\) 是满同态，所以 \(\text{Im}f = NK/K\)

所以 \(K/(N\cap K) \cong NK/N\)

定理 11.9.4 第三同构定理

如果 \(K,H\) 都是 \(G\) 的正规子群，并且 \(K < H\)，则 \(H/K\) 是 \(G/K\) 的正规子群，并且 \((G/K)/(H/K) \cong G/H\)

证明： 点击查看证明

恒等映射 \(1_G\) 满足 \(1_G(K) < H\)，则存在满同态 \(I: G/K \rightarrow G/H,I(aK)=aH\)

由于 \(H = I(aK) \iff a \in H\)

所以 \(\text{Ker}I = \{ aK | a\in H \} = H/K\)

根据定理 11.8.3，\(H/K\) 是 \(G/K\) 的正规子群

根据第一同构定理：

\(G/H = \text{Im}I \cong (G/K)/\text{Ker}I = (G/K)/(H/K)\)