cover.png#代数结构与数理逻辑学习笔记2

开头先给出乘法记号和加法记号对照表：

乘法记号	加法记号
\(ab\)	\(a + b\)
\(a^{-1}\)	\(-a\)
\(e\)	\(0\)
\(a^n\)	\(na\)
\(ab^{-1}\)	\(a - b\)
\(HK = \{hk \mid h \in H, k \in K\}\)	\(H + K = \{h + k \mid h \in H, k \in K\}\)
\(aH\)	\(a + H\)
\(G \times H\)	\(G \oplus H\)
\(H \lor K = \langle H \cup K \rangle\)	\(H + K\)
\(\prod_{i \in I} G_i\)	\(\sum_{i \in I} G_i\)
弱直积	直和

定义 12.1 循环群

设 \(G\) 是一个群，\(a \in G\)，由 \(a\) 生成的子群 \(\langle a \rangle = {a^n \mid n \in \mathbb{Z}}\) 称为循环子群

如果 \(G = \langle a \rangle\)，则称 \(G\) 是一个循环群（cyclic group），\(a\) 称为 \(G\) 的生成元

循环群 \(\langle a \rangle\) 要么是无限群（此时称 \(a\) 的阶为无限，记 \(|a| = \infty\)），要么是有限群（此时 \(a\) 的阶 \(|a|\) 是使得 \(a^n = e\) 成立的最小正整数 \(n\)）

定理 12.1.1

设 \(G = \langle a \rangle\) 是循环群，则：

• 如果 \(|a| = \infty\)，则 \(G \cong \mathbb{Z}\)（整数加法群），且 \(G\) 的子群恰好是 \(\langle a^k \rangle\)（\(k \in \mathbb{N}\)），故 \(G\) 的子群也是循环群
• 如果 \(|a| = n\)，则 \(G \cong \mathbb{Z}_n\)（模 \(n\) 整数加法群），且 \(G\) 的子群恰好是 \(\langle a^d \rangle\)，其中 \(d \mid n\)，每个子群的阶为 \(n/d\)

证明： 点击查看证明

若 \(|a| = \infty\)，映射 \(\varphi: \mathbb{Z} \to G, k \mapsto a^k\) 是同态

由于 \(a\) 的阶无限，对不同的 \(k\) 有不同的 \(a^k\)，故 \(\varphi\) 是单射

又 \(G = \langle a \rangle\) 故 \(\varphi\) 是满射，从而 \(G \cong \mathbb{Z}\)

若 \(|a| = n\)，映射 \(\varphi: \mathbb{Z}_n \to G, [k] \mapsto a^k\) 是定义良好的同构

对子群：设 \(H \leq G\)

若 \(H = \langle e \rangle\) 则 \(H = \langle a^n \rangle\)

若 \(H \neq \langle e \rangle\)，取 \(d\) 为使 \(a^d \in H\) 的最小正整数，可验证 \(H = \langle a^d \rangle\)，而 \(d \mid n\)（当 \(|a| = n\) 时）

定理 12.1.2

每个循环群都是 Abel 群

素数阶群必为循环群

证明： 点击查看证明

循环群 \(\langle a \rangle\) 的元素形如 \(a^m, a^n\)，由 \(a^m a^n = a^{m+n} = a^n a^m\) 知交换律成立，故循环群是 Abel 群

设 \(|G| = p\) 为素数，取 \(g \in G, g \neq e\)，则 \(|\langle g \rangle|\) 整除 \(p\)，故 \(|\langle g \rangle| = p\)，即 \(G = \langle g \rangle\)

定义 12.2 对称群、置换群、交错群

设 \(n\) 是正整数，集合 \(I_n = {1, 2, \ldots, n}\) 上全体双射所组成的群（运算为函数复合）称为 \(n\) 次对称群（symmetric group），记为 \(S_n\)

\(S_n\) 的任意子群称为 \(n\) 次置换群（permutation group）\(|S_n| = n!\)

\(S_n\) 中每个置换可以写成不相交轮换（disjoint cycles）之积

长度为 \(2\) 的轮换称为对换（transposition），每个置换都可以写成对换之积，且所用对换个数的奇偶性是不变量

由此将置换分为偶置换（even permutation）和奇置换（odd permutation）。

全体偶置换组成 \(S_n\) 的正规子群，称为 \(n\) 次交错群（alternating group），记为 \(A_n\)，\(|A_n| = \frac{n!}{2}\)（\(n \geq 2\)）

定义 12.3 直积和直和

设 \(G_1, G_2, \dots, G_n\) 是群，在集合 \(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\) 上定义运算 \[ (g_1, \dots, g_n)(h_1, \dots, h_n) = (g_1h_1, \dots, g_nh_n) \] 则\(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\) 是一个群，称为 \(G_1, G_2, \dots, G_n\) 的直积（direct product），记为 \(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\)

定义 12.3.1 外直积

设 \(\{G_i \mid i \in I\}\) 是一个群族。在笛卡尔积

\[ \prod_{i \in I} G_i = \left\{ f : I \to \bigcup_{i \in I} G_i \;\middle|\; f(i) \in G_i \right\} \]

上定义乘法为逐点乘法：

\[ (fg)(i) = f(i) g(i), \quad \forall i \in I \]

则 \(\prod_{i \in I} G_i\) 构成一个群，称为 外直积（external direct product）

当 \(I\) 有限时，常记为 \(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\)，元素记为 \((g_1, g_2, \dots, g_n)\)

定义 12.3.2 外弱直积

当 \(I\) 无限时，直积中允许无穷多个非单位元分量，考虑一个子集：

设 \(\{G_i \mid i \in I\}\) 是一个群族，记 \(e_i\) 为 \(G_i\) 的单位元。集合

\[ \prod_{i \in I}^W G_i = \left\{ f \in \prod_{i \in I} G_i \;\middle|\; \text{除了有限个 } i \in I \text{ 外，} f(i) = e_i \right\} \]

在逐点乘法下构成 \(\prod G_i\) 的一个子群，称为 外弱直积（external weak direct product），也称 受限直积（restricted direct product）

当 \(I\) 有限时，弱直积和外直积相同

当所有 \(G_i\) 都是 Abel 群（通常用加法记号）时，弱直积有专门名称：

定义 12.3.3 外直和

设 \(\{G_i \mid i \in I\}\) 是 Abel 群族（加法群），则外弱直积称为 外直和（external direct sum），记为

\[ \bigoplus_{i \in I} G_i \quad \text{或} \quad \sum_{i \in I} G_i \]

其元素是有限支撑的函数：只有有限个分量非零

当 \(I\) 有限时，直和 \(=\) 直积，记为 \(G_1 \oplus G_2 \oplus \cdots \oplus G_n\)

以上是从外部构造新群。反过来，给定一个群 \(G\)，如何判断它可分解为子群的直积/直和？

定义 12.3.4 内直积

设 \(H_1, H_2, \dots, H_n\) 是群 \(G\) 的正规子群，且满足：

1. \(G = H_1 H_2 \cdots H_n\)（每个元素可写成 \(h_1 h_2 \cdots h_n\)，\(h_i \in H_i\)）；
2. 对每个 \(k\)，\(H_k \cap \langle \bigcup_{j \ne k} H_j \rangle = \{ e \}\)。

则称 \(G\) 是 \(\{H_i\}\) 的 内直积（internal direct product）

定义 12.3.5 内弱直积

设 \(\{N_i \mid i \in I\}\) 是群 \(G\) 的正规子群族，且满足：

1. \(G = \langle \bigcup_{i \in I} N_i \rangle\)（由所有 \(N_i\) 生成）；
2. 对每个 \(k \in I\)，\(N_k \cap \langle \bigcup_{i \ne k} N_i \rangle = \{ e \}\)。

则称 \(G\) 是 \(\{N_i\}\) 的 内弱直积（internal weak direct product）。

当 \(G\) 是 Abel 群时，称为 内直和（internal direct sum）

定理 12.3.1 内外直积的联系

设 \(H_1, \dots, H_n\) 是群 \(G\) 的正规子群，则 \(G\) 是 \({H_i}\) 的内直积当且仅当映射

\[ H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_n \to G, \quad (h_1, h_2, \ldots, h_n) \mapsto h_1 h_2 \cdots h_n \]

是群同构。特别地，此时 \(G \cong H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_n\)（外直积）

证明： 点击查看证明

设 \(\varphi: H_1 \times \cdots \times H_n \to G\) 为上述映射

首先注意，由条件 (2) 可知，当 \(i \neq j\) 时，\(H_i \cap H_j \subseteq H_i \cap \langle \bigcup_{k \neq i} H_k \rangle = {e}\)

从而对 \(h_i \in H_i, h_j \in H_j\)（\(i \neq j\)）有 \(h_i h_j = h_j h_i\)（由定理 11.8.2 (4)）

由此可验证 \(\varphi\) 是群同态

条件 (1) 保证 \(\varphi\) 是满射

条件 (2) 保证 \(\varphi\) 是单射（若 \(h_1 \cdots h_n = e\)，逐步利用条件 (2) 得每个 \(h_i = e\)）

故 \(\varphi\) 是同构

定义 12.4 自由 Abel 群

设 \(F\) 是 Abel 群，\(X \subseteq F\) 是一个非空子集。若满足：

1. \(F = \langle X \rangle\)（\(X\) 生成 \(F\)）
2. 对不同的 \(x_1, x_2, \ldots, x_k \in X\) 和 \(n_i \in \mathbb{Z}\)，\(n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k = 0\) 蕴含对每个 \(i\) 均有 \(n_i = 0\)

则称 \(X\) 是 \(F\) 的一组基（basis），\(F\) 称为以 \(X\) 为基的自由 Abel 群（free abelian group）

特别地，平凡群 \(0\) 是空集 \(\emptyset\) 上的自由 Abel 群

注意：自由 Abel 群的基与向量空间的基有形式上的类比，但例如，自由 Abel 群的线性无关子集未必能扩充为一组基

定理 12.4.1

关于 Abel 群 \(F\) 的如下条件彼此等价：

• （i） \(F\) 具有一组非空的基；
• （ii） \(F\) 是一族无限循环群的（内）直和；
• （iii） \(F\)（同构于）一些整数加法群 \(\mathbb{Z}\) 的直和；
• （iv） 存在非空集合 \(X\) 和函数 \(\iota: X \to F\) 具有如下泛性质：对任意 Abel 群 \(G\) 和函数 \(f: X \to G\)，存在唯一的群同态 \(\bar{f}: F \to G\) 使得 \(\bar{f} \circ \iota = f\)（即 \(F\) 是 Abel 群范畴中集合 \(X\) 上的自由对象）。

证明： 点击查看证明

1. \(\Rightarrow\) (ii)：若 \(X\) 是 \(F\) 的一组基，则对每个 \(x \in X\)，\(nx = 0 \Leftrightarrow n = 0\)

故每个子群 \(\langle x \rangle\)（\(x \in X\)）都是无限循环群（且作为 Abel 群在 \(F\) 中正规）

由于 \(F = \langle X \rangle\)，我们有 \(F = \langle \bigcup_{x \in X} \langle x \rangle \rangle\)

再由基的线性无关性，对任意 \(z \in X\) 有 \(\langle z \rangle \cap \langle \bigcup_{x \in X, x \neq z} \langle x \rangle \rangle = {0}\)

故 \(F\) 是 \({\langle x \rangle \mid x \in X}\) 的内直和

2. \(\Rightarrow\) (iii)：直接由内直和的定义得出

3. \(\Rightarrow\) (i)：设 \(F \cong \sum \mathbb{Z}\)，其中各 \(\mathbb{Z}\) 以 \(X\) 为下标集合

对每个 \(x \in X\)，以 \(\theta_x\) 表示 \(\sum \mathbb{Z}\) 中的元素 \({u_i}\)，其中 \(u_i = 0\)（对 \(i \neq x\)），\(u_x = 1\)

可验证 \({\theta_x \mid x \in X}\) 是 \(\sum \mathbb{Z}\) 的一组基，再利用同构 \(F \cong \sum \mathbb{Z}\) 得到 \(F\) 的一组基

1. \(\Rightarrow\) (iv)：设 \(X\) 是 \(F\) 的一组基，\(\iota: X \to F\) 是包含映射

给定 Abel 群 \(G\) 和 \(f: X \to G\)，由于 \(X\) 生成 \(F\)，\(F\) 中每个元素均可唯一写成 \(u = n_1 x_1 + \cdots + n_k x_k\)（\(n_i \in \mathbb{Z}\)，\(x_i \in X\) 两两不同）

定义 \(\bar{f}(u) = n_1 f(x_1) + \cdots + n_k f(x_k)\)，由基的线性无关性知此定义合理

且 \(\bar{f}\) 是满足条件的唯一群同态

4. \(\Rightarrow\) (iii)：由泛性质可知 \(F \cong \sum \mathbb{Z}\)（以 \(X\) 为下标集）

定理 12.4.2

自由 Abel 群 \(F\) 的任意两组基具有相同的势（基数）

这个唯一确定的势 \(|X|\) 称为 \(F\) 的秩（rank）

证明（有限秩情形）

设 \(F\) 有一组有限基 \(X\)，\(|X| = n\)，则 \(F \cong \mathbb{Z}^n = \mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}\)（\(n\) 个直和成分）

令 \(2F = {2u \mid u \in F}\)，则 \(F/2F \cong \mathbb{Z}_2^n\)

故 \(|F/2F| = 2^n\)

若 \(Y\) 是 \(F\) 的另一组基，类似地有 \(|F/2F| = 2^{|Y|}\)

从而 \(2^{|Y|} = 2^n\)，即 \(|Y| = n\)

定理 12.4.3

设 \(F_1\) 是集合 \(X_1\) 上的自由 Abel 群，\(F_2\) 是集合 \(X_2\) 上的自由 Abel 群，则 \(F_1 \cong F_2\) 当且仅当 \(|X_1| = |X_2|\)（即 \(F_1\) 与 \(F_2\) 有相同的秩）

每个 Abel 群 \(G\) 都是某个自由 Abel 群的同态象，其中自由 Abel 群可取秩为 \(|X|\) 的自由 Abel 群，\(X\) 为 \(G\) 的生成元集合

定理 12.4.4

设 \(F\) 是秩为 \(n\)（有限）的自由 Abel 群，\(G\) 是 \(F\) 的非零子群，则存在 \(F\) 的一组基 \({x_1, \ldots, x_n}\)，一个整数 \(r\)（\(1 \leq r \leq n\)）和一组正整数 \(d_1, \ldots, d_r\)，使得 \(d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r\)，并且 \(G\) 是以 \({d_1 x_1, \ldots, d_r x_r}\) 为基的自由 Abel 群

特别地，秩（可能无限）为 \(\alpha\) 的自由 Abel 群的每个子群也是自由 Abel 群，且其秩至多等于 \(\alpha\)

定义 12.5 有限生成 Abel 群

每个有限生成 Abel 群都同构于有限个循环群的直和

定理 12.5.1（结构定理，不变因子形式）

每个有限生成 Abel 群 \(G\) 均同构于一些循环群的有限直和，且这些循环群中如果有一些是有限的，总可以使它们的阶为 \(m_1, m_2, \ldots, m_t\)，其中 \(m_1 > 1\) 同时 \(m_1 \mid m_2 \mid \cdots \mid m_t\)：

\[ G \cong \mathbb{Z}*{m_1} \oplus \mathbb{Z}*{m_2} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{m_t} \oplus (\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}) \]

其中 \(m_1 > 1\)，\(m_1 \mid m_2 \mid \cdots \mid m_t\)，而右侧 \((\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z})\) 的秩为 \(s\)

证明思路： 点击查看

若 \(G \neq 0\) 且 \(G\) 由 \(n\) 个元素生成，由定理 12.4.4（每个 Abel 群均是秩 \(n\) 自由 Abel 群的同态象）和第一同构定理，存在满同态 \(\pi: F \to G\)，其中 \(F\) 是秩 \(n\) 的自由 Abel 群，\(\text{Ker},\pi = K\)

由定理 12.4.4，存在 \(F\) 的一组基 \({x_1, \ldots, x_n}\) 和正整数 \(d_1, \ldots, d_r\)（\(d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r\)），使得 \(K\) 以 \({d_1 x_1, \ldots, d_r x_r}\) 为基

故 \(G \cong F/K \cong \bigoplus_{i=1}^n \langle x_i \rangle / \langle d_i x_i \rangle \cong \bigoplus_{i=1}^n \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}\)，其中 \(d_{r+1} = \cdots = d_n = 0\)

若 \(d_i = 1\)，则 \(\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = 0\)；若 \(d_i > 1\)，则 \(\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{d_i}\)；若 \(d_i = 0\)，则 \(\mathbb{Z}/0 \cong \mathbb{Z}\)。令 \(m_1, \ldots, m_t\) 是诸 \(d_i\) 中不等于 \(0\) 和 \(1\) 的那些数，以 \(s\) 表示等于 \(0\) 的 \(d_i\) 之个数，则结论成立

定理 12.5.2（结构定理，初等因子形式）

每个有限生成 Abel 群 \(G\) 均同构于循环群的有限直和，这些循环群或者是无限的，或者阶为素数幂：

\[ G \cong \mathbb{Z}*{p_1^{s_1}} \oplus \mathbb{Z}*{p_2^{s_2}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{p_k^{s_k}} \oplus (\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}) \]

其中 \(p_1, \ldots, p_k\) 是（不必不同的）素数，\(s_i \geq 1\)，右侧 \(\mathbb{Z}\) 的个数为 \(s\)

这个分解由引理 12.5.3（中国剩余定理形式）直接给出：若 \(m = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_t^{n_t}\)（\(p_i\) 两两不同，\(n_i > 0\)），则 \(\mathbb{Z}*m \cong \mathbb{Z}*{p_1^{n_1}} \oplus \mathbb{Z}*{p_2^{n_2}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}*{p_t^{n_t}}\)

定理 12.5.3 唯一性定理

设 \(G\) 是有限生成 Abel 群，则：

• （i）存在唯一的非负整数 \(s\)，使得将 \(G\) 任意分解成循环群直和时，其无限循环群直和成分的个数恰好是 \(s\)
• （ii） 或者 \(G\) 是自由 Abel 群，或者存在唯一的一组（不必不同的）正整数 \(m_1, \ldots, m_t\)，使得 \(m_1 > 1\)，\(m_1 \mid m_2 \mid \cdots \mid m_t\)，并且 \(G \cong \mathbb{Z}*{m_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}*{m_t} \oplus F\)，其中 \(F\) 是自由 Abel 群
• （iii）或者 \(G\) 是自由 Abel 群，或者存在唯一的一组正整数 \(p_1^{s_1}, \ldots, p_k^{s_k}\)（\(p_i\) 为素数，不计次序），使得 \(G \cong \mathbb{Z}*{p_1^{s_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}*{p_k^{s_k}} \oplus F\)，其中 \(F\) 是自由 Abel 群

\(m_1, \ldots, m_t\) 称为 \(G\) 的不变因子（invariant factors），\(p_i^{s_i}\) 称为 \(G\) 的初等因子（elementary divisors）

定义 12.6 Krull-Schmidt 定理

群 \(\mathbb{Z}\) 和 \(\mathbb{Z}_{p^n}\)（\(p\) 为素数）均是不可分解的，这意味着它们都不是两个真子群的直和

从而定理 12.5.1 和 12.5.3 可以重述为：每个有限生成 Abel 群都是有限个不可分解群的直和，并且这些不可分解的直和成分不计同构是唯一决定的

现在我们要将此结果推广到一大批（不必 Abel 的）群上去

本节以下内容中，对任意群恢复使用乘法记号

定义 12.6.1 不可分解群

群 \(G\) 叫作不可分解的（indecomposable），如果 \(G \neq \langle e \rangle\) 并且 \(G\) 不是它的两个真子群的（内）直积

等价地，\(G\) 是不可分解的 \(\Leftrightarrow\) \(G \neq \langle e \rangle\)，并且由 \(G \cong H \times K\) 推得 \(H = \langle e \rangle\) 或者 \(K = \langle e \rangle\)

例：每个单群（例如 \(A_n\)，\(n \geq 5\)）都是不可分解的。但是不可分解群不必是单群：\(\mathbb{Z}\)，\(\mathbb{Z}_{p^n}\)（\(p\) 为素数）和 \(S_n\) 均是不可分解的，但都不是单群

定义 12.6.2 升链条件与降链条件

群 \(G\) 叫作满足（正规）子群的升链条件（ascending chain condition，ACC）

是指对于 \(G\) 的每个（正规）子群链 \(G_1 < G_2 < \cdots\)，均存在一个整数 \(n\)，使得当 \(i \geq n\) 时 \(G_i = G_n\)

群 \(G\) 叫作满足（正规）子群的降链条件（descending chain condition，DCC）

是指对于 \(G\) 的每个（正规）子群链 \(G_1 > G_2 > \cdots\)，均存在一个整数 \(n\)，使得当 \(i \geq n\) 时 \(G_i = G_n\)

例：每个有限群都同时满足上述两个链条件。\(\mathbb{Z}\) 满足升链条件但不满足降链条件。\(\mathbb{Z}_{p^\infty}\) 满足降链条件但不满足升链条件

定理 12.6.3

如果群 \(G\) 满足正规子群的升链或者降链条件，则 \(G\) 是有限多个不可分解子群的直积

证明思路： 点击查看证明

假设 \(G\) 不是有限个不可分解子群的直积

令 \(S = {H \mid H \trianglelefteq G,, H \text{ 是 } G \text{ 的直积因子，且 } H \text{ 不是有限个不可分解子群的直积}}\)

显然 \(G \in S\)。

若 \(H \in S\)，则 \(H\) 不是不可分解的，从而存在真子群 \(K_H\) 和 \(J_H\)，使得 \(H = K_H \times J_H\)

进而，这两个真子群之一（设为 \(K_H\)）必属于 \(S\)

令 \(f: S \to S\) 是映射 \(f(H) = K_H\)

由引论中的递归定理，存在函数 \(\varphi: \mathbb{N} \to S\)，使得 \(\varphi(0) = G\)，\(\varphi(n+1) = f(\varphi(n)) = K_{\varphi(n)}\)（\(n \geq 0\)）

以 \(G_n\) 表示 \(\varphi(n)\)，则我们得到 \(G\) 的一列子群 \(G_0, G_1, G_2, \ldots\)（所有这些子群均在 \(S\) 中），使得 \(G \geq G_1 \geq G_2 \geq \cdots\)

若 \(G\) 满足正规子群的降链条件，则这导致矛盾

进而，按部就班地用数学归纳法可以证明，对于每个 \(n \geq 1\)，\(G = G_n \times J_{G_{n-1}} \times \cdots \times J_{G_0}\)，从而存在正规子群的真升链：\(J_{G_0} \leq J_{G_0} \times J_{G_1} \leq \cdots\)，若 \(G\) 满足升链条件，这又导致矛盾

定义 12.6.4 正规自同态

群 \(G\) 的自同态 \(f\) 叫作正规自同态（normal endomorphism），是指对于所有 \(a, b \in G\)，\(af(b)a^{-1} = f(aba^{-1})\)

引理 12.6.5（Fitting）

如果群 \(G\) 同时满足正规子群的升链和降链条件，而 \(f\) 是 \(G\) 的正规自同态，则存在某个 \(n \geq 1\)，使得 \(G = \mathrm{Ker}, f^n \times \mathrm{Im}, f^n\)

证明思路： 点击查看证明

由于 \(f\) 是正规自同态，从而每个 \(\mathrm{Im}, f^k\)（\(k \geq 1\)）均在 \(G\) 中正规。于是我们有两个正规子群链：

\[ G > \mathrm{Im}, f > \mathrm{Im}, f^2 > \cdots \quad \text{和} \quad \langle e \rangle < \mathrm{Ker}, f < \mathrm{Ker}, f^2 < \cdots \]

由假设，存在 \(n\) 使得对每个 \(k \geq n\) 均有 \(\mathrm{Im}, f^k = \mathrm{Im}, f^n\) 和 \(\mathrm{Ker}, f^k = \mathrm{Ker}, f^n\)。

设 \(a \in \mathrm{Ker}, f^n \cap \mathrm{Im}, f^n\)

则存在 \(b \in G\) 使得 \(a = f^n(b)\) 并且 \(f^{2n}(b) = f^n(a) = e\)

从而 \(b \in \mathrm{Ker}, f^{2n} = \mathrm{Ker}, f^n\)，于是 \(a = f^n(b) = e\)

故 \(\mathrm{Ker}, f^n \cap \mathrm{Im}, f^n = \langle e \rangle\)

对任意 \(c \in G\)，\(f^n(c) \in \mathrm{Im}, f^n = \mathrm{Im}, f^{2n}\)，从而有 \(d \in G\)，\(f^n(c) = f^{2n}(d)\)

故 \(f^n(cf^n(d)^{-1}) = e\)，即 \(cf^n(d)^{-1} \in \mathrm{Ker}, f^n\)

从而 \(c = (cf^n(d)^{-1}) \cdot f^n(d) \in (\mathrm{Ker}, f^n)(\mathrm{Im}, f^n)\)

由定义 12.3.4 即知 \(G = \mathrm{Ker}, f^n \times \mathrm{Im}, f^n\)。

定理 12.6.6 Krull-Schmidt

假设群 \(G\) 同时满足正规子群的升链和降链条件

如果 \(G = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_s\) 和 \(G = H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_t\)，其中 \(G_i\) 和 \(H_j\) 均是不可分解的，则 \(s = t\)，并且在重新标记之后，对于每个 \(i\) 均有 \(G_i \cong H_i\)，而对于每个 \(r < t\) 均有 \[ G = G_1 \times \cdots \times G_r \times H_{r+1} \times \cdots \times H_t \]

注记：根据定理 12.6.3 知 \(G\) 至少有一个这样的分解

此外，这里的唯一性命题比简单地说”不可分解因子不计同构是唯一决定的”要强。

证明思路： 点击查看证明

设 \(\pi_i\)（\(1 \leq i \leq s\)）和 \(\pi'_j\)（\(1 \leq j \leq t\)）分别是结合于内直积 \(G = G_1 \times \cdots \times G_s\) 和 \(G = H_1 \times \cdots \times H_t\) 的正则满同态

令 \(\lambda_i\)（\(\lambda'_j\)）是将第 \(i\)（\(j\)）个因子映到 \(G\) 的包含映射。对于每个 \(i\)，令 \(\varphi_i = \lambda_i \pi_i\)，\(\psi_j = \lambda'_j \pi'_j\)，则可验证：

\[\varphi_i|*{G_i} = 1*{G_i},\quad \varphi_i \varphi_j = O_G\ (i \neq j),\quad \psi_1 + \cdots + \psi_t = 1_G\]

对每个 \(j\)（\(r \leq j \leq t\)），\(\varphi_r \psi_j|*{H_j}: H_j \to G_r\) 是正规自同态

由于 \(G_r\) 不可分解且同时满足两个链条件，系 3.6 推出 \(\varphi_r \psi_j|*{H_j}\) 要么是幂零的要么是自同构

由于 \(H_j\) 满足两个链条件，系 3.7 推出存在某个 \(j\)（\(r \leq j \leq t\)），使得 \(\varphi_r \psi_j|*{H_j}\) 不能幂零

重新标记使 \(j = r\)，则 \(\psi_r|*{H_r}: H_r \to G_r\) 是同构，\(\varphi_r|*{H_r}: G_r \to H_r\) 也是同构，从而 \(G_r \cong H_r\)

利用这个同构可以证明 \(G = G_1 \times \cdots \times G_r \times H*{r+1} \times \cdots \times H_t\)，完成归纳步骤

定义 12.7 群在集合上的作用

定义 12.7.1

群 \(G\) 叫作作用于集合 \(S\) 上，是指存在一个函数 \(G \times S \to S\)（通常表示成 \((g, x) \mapsto gx\)），使得对每个 \(x \in S\) 和 \(g_1, g_2 \in G\)，\(ex = x, \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)\)

例：对称群 \(S_n\) 在集合 \(I_n = {1, 2, \ldots, n}\) 上的作用由 \((\sigma, x) \mapsto \sigma(x)\) 给出

例：设 \(G\) 是群而 \(H\) 是它的子群。群 \(H\) 在集合 \(G\) 上的作用由 \((h, x) \mapsto hx\) 给出，其中 \(hx\) 是 \(G\) 中的乘积。\(h \in H\) 在 \(G\) 上的这种作用叫作（左）平移。如果 \(K\) 是 \(G\) 的另一个子群，而 \(S\) 是 \(K\) 在 \(G\) 中全体左陪集组成的集合，则 \(H\) 在 \(S\) 上的作用由平移：\((h, xK) \mapsto hxK\) 给出。

例：设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群。\(H\) 在集合 \(G\) 上的作用由 \((h, x) \mapsto hxh^{-1}\) 给出。为了避免与 \(G\) 的乘积相混淆，\(h \in H\) 的这个作用永远表示成 \(hxh^{-1}\) 而不是 \(hx\)。\(h \in H\) 在 \(G\) 上的这个作用叫作是用 \(h\) 作共轭，而元素 \(hxh^{-1}\) 叫作 \(x\) 的共轭元素。如果 \(K\) 是 \(G\) 的任一子群而 \(h \in H\)，则 \(hKh^{-1}\) 是 \(G\) 中同构于 \(K\) 的子群，从而 \(H\) 由共轭作用于 \(G\) 的全体子群所组成的集合 \(S\) 上：\((h, K) \mapsto hKh^{-1}\)。群 \(hKh^{-1}\) 叫作 \(K\) 的共轭子群。

定理 12.7.2

假定群 \(G\) 作用于集合 \(S\) 之上，则 \(S\) 上由

\[ x \sim x' \Leftrightarrow gx = x' \quad (\text{对于某个 } g \in G) \]

定义的关系是等价关系。对于每个 \(x \in S\)，子群 \(G_x = {g \in G \mid gx = x}\) 是 \(G\) 的子群。

等价类称为 \(G\) 在 \(S\) 上的轨道（orbit）。\(x \in S\) 的轨道表示成 \(\bar{x}\)。子群 \(G_x\) 叫作 \(x\) 的固定子群，或叫作固定 \(x\) 的子群等等。

当群 \(G\) 共轭作用于自身之上时，\(x \in G\) 的轨道 \({gxg^{-1} \mid g \in G}\) 叫作 \(x\) 的共轭类。如果子群 \(H\) 共轭作用于 \(G\) 上，固定子群 \(H_x = {h \in H \mid hxh^{-1} = x} = {h \in H \mid hx = xh}\) 叫作 \(x\) 在 \(H\) 中的中心化子，并且表示成 \(C_H(x)\)。如果 \(H = G\)，则 \(C_G(x)\) 简称为 \(x\) 的中心化子。如果 \(H\) 共轭作用于 \(G\) 的全体子群所组成的集合 \(S\) 上，则 \(H\) 之固定 \(K \in S\) 的子群，即 \({h \in H \mid hKh^{-1} = K}\) 叫作 \(K\) 在 \(H\) 中的正规化子，表示成 \(N_H(K)\)。群 \(N_G(K)\) 则简称为 \(K\) 的正规化子。每个子群 \(K\) 显然在 \(N_G(K)\) 中正规，而 \(K \trianglelefteq G \Leftrightarrow N_G(K) = G\)。

定理 12.7.3

如果群 \(G\) 作用于集合 \(S\) 之上，则 \(x \in S\) 的轨道的势等于指数 \([G : G_x]\)

证明： 点击查看证明

令 \(g, h \in G\)。由于 \[ gx = hx \Leftrightarrow g^{-1}hx = x \Leftrightarrow g^{-1}h \in G_x \Leftrightarrow hG_x = gG_x, \]

从而由 \(gG_x \mapsto gx\) 给出的映射可定义出由 \(G_x\) 在 \(G\) 中的全体陪集所组成的集合到轨道 \(\bar{x} = {gx \mid g \in G}\) 之上的一一对应

因此 \([G : G_x] = |\bar{x}|\)

推论 12.7.4

令 \(G\) 是有限群而 \(K\) 是 \(G\) 的子群

• （i）\(x \in G\) 的共轭元素个数等于 \([G : C_G(x)]\)，并且此数是 \(|G|\) 的因子；
• （ii）如果 \(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}*n\)（\(x_i \in G\)）是 \(G\) 的全部不同的共轭类，则 \(|G| = \sum*{i=1}^n [G : C_G(x_i)]\)（类方程）；
• （iii）\(G\) 中共轭于 \(K\) 的子群的个数是 \([G : N_G(K)]\)，并且此数是 \(|G|\) 的因子

定理 12.7.5

如果群 \(G\) 作用于集合 \(S\) 之上，则此作用诱导出一个同态 \(G \to A(S)\)，其中 \(A(S)\) 是 \(S\) 的全体置换所构成的群

证明： 点击查看证明

如果 \(g \in G\)，定义 \(\tau_g: S \to S\)，\(x \mapsto gx\)

由于对每个 \(x \in S\) 均有 \(x = g(g^{-1}x)\)，从而 \(\tau_g\) 是满射

类似地，由 \(gx = gy\)（\(y \in S\)）导致 \(x = g^{-1}(gx) = g^{-1}(gy) = y\)，从而 \(\tau_g\) 是单射，于是 \(\tau_g\) 是一一对应（即 \(S\) 上的置换）

由于 \(\tau_{gg'} = \tau_g \tau_{g'}\)（\(g, g' \in G\)），从而映射 \(G \to A(S)\)，\(g \mapsto \tau_g\) 是同态。

推论 12.7.6 Cayley

如果 \(G\) 是群，则存在单同态 \(G \to A(G)\)

从而每个群均同构于某个置换群，特别地，每个有限群 \(G\) 均同构于 \(S_n\) 的某个子群，其中 \(n = |G|\)

推论 12.7.7

令 \(G\) 为群，

• （i）对于每个 \(g \in G\)，经 \(g\) 共轭诱导出 \(G\) 的一个自同构；
• （ii）存在着同态 \(G \to \mathrm{Aut}, G\)，其核为 \(C(G) = {g \in G \mid gx = xg,, \text{对所有 } x \in G}\)。

正规化子 \(C(G) = \mathrm{Ker}, \tau\) 叫作 \(G\) 的中心

元素 \(g \in G\) 在 \(C(G)\) 中 \(\Leftrightarrow\) \(g\) 的共轭类只包含一个元素 \(g\)

因此，如果 \(G\) 是有限群并且 \(x \in C(G)\)，则 \([G : C_G(x)] = 1\)（推论 12.7.4）

从而 \(G\) 的类方程可以写成 \[ |G| = |C(G)| + \sum_{i=1}^m [G : C_G(x_i)], \]

其中 \(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_m\)（\(x_i \in G - C(G)\)）是 \(G\) 的不同共轭类并且 \([G : C_G(x_i)] > 1\)

定理 12.7.8

假设 \(H\) 是群 \(G\) 的子群，\(G\) 由左平移作用于由 \(H\) 在 \(G\) 中的全体左陪集所组成的集合 \(S\) 上。则诱导同态 \(G \to A(S)\) 的核包含在 \(H\) 之中

证明： 点击查看证明

诱导同态 \(G \to A(S)\) 由 \(g \mapsto \tau_g\) 给出，其中 \(\tau_g: S \to S\)，\(\tau_g(xH) = gxH\)

如果 \(g\) 在核中，则 \(\tau_g = 1_S\)，从而对每个 \(x \in G\) 均有 \(gxH = xH\)

特别对 \(x = e\)，\(geH = eH\)，这导致 \(g \in H\)

推论 12.7.9

如果 \(H\) 是 \(G\) 的指数为 \(n\) 的子群，并且 \(G\) 没有非平凡的正规子群包含在 \(H\) 中，则 \(G\) 同构于 \(S_n\) 的某个子群

推论 12.7.10

如果 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群并且指数为 \(p\)，其中 \(p\) 是 \(|G|\) 的最小素因子，则 \(H \trianglelefteq G\)

定义 12.8 Sylow 定理

有限 Abel 群已经在定义 12.5 中作了完全的同构分类，有限非 Abel 群则要复杂得多，而 Sylow 的几个定理是为理解任意有限群结构所作的最基本的一步

促使我们进行研究的是如下的问题：如果正整数 \(m\) 除尽群 \(G\) 的阶数，\(G\) 是否有 \(m\) 阶子群？这是 Lagrange 定理的反问题

对于 Abel 群这是对的（推论 12.5.4），但是对于任意的群可能不对

我们先考虑 \(m\) 是素数这一特殊情形（定理 12.8.2），接下来便是 Sylow 第一定理，它是说：当 \(m\) 是素数幂时，我们问题的答案是肯定的。这自然导致讨论最大素数幂阶的子群（Sylow 第二和第三定理）

引理 12.8.1

如果 \(p^n\)（\(p\) 为素数）阶群 \(H\) 作用于有限集合 \(S\) 上，而 \(S_0 = {x \in S \mid hx = x, \text{对于每个 } h \in H}\)，则 \(|S| \equiv |S_0| \pmod{p}\)

证明： 点击查看证明

轨道 \(\bar{x}\) 恰含包含一个元素 \(\Leftrightarrow\) \(x \in S_0\)。因此 \(S\) 可以写成非交并：\(S = S_0 \cup \bar{x}_1 \cup \bar{x}_2 \cup \cdots \cup \bar{x}_n\)其中对每个 \(i\)，\(|\bar{x}_i| > 1\)。从而 \(|S| = |S_0| + |\bar{x}_1| + |\bar{x}_2| + \cdots + |\bar{x}_n|\)

由于 \(|\bar{x}*i| = [H : H*{x_i}]\) 除尽 \(|H| = p^n\)，从而 \(p \mid |\bar{x}_i|\)（对每个 \(i\)）

因此 \(|S| \equiv |S_0| \pmod{p}\)。

定理 12.8.2 Cauchy

如果 \(G\) 是有限群并且素数 \(p \mid |G|\)，则 \(G\) 中有 \(p\) 阶元素

证明： 点击查看证明

（J. H. McKay）令 \(S\) 为集合 \(\{(a_1, a_2, \ldots, a_p) \mid a_i \in G,, a_1 a_2 \cdots a_p = e\}\)。由于 \(a_p = (a_1 a_2 \cdots a_{p-1})^{-1}\)，从而 \(|S| = n^{p-1}\)，其中 \(n = |G|\)

因为 \(p \mid n\)，从而 \(|S| \equiv 0 \pmod{p}\)

令群 \(\mathbb{Z}*p\) 在集合 \(S\) 上的作用是循环置换，即对于 \(k \in \mathbb{Z}*p\)，\(k(a_1, a_2, \ldots, a_p) = (a*{k+1}, a*{k+2}, \ldots, a_k)\)

可验证这确定了 \(\mathbb{Z}_p\) 在 \(S\) 上的群作用。

现在 \((a_1, \ldots, a_p) \in S_0 \Leftrightarrow a_1 = a_2 = \cdots = a_p\)。

然 \((e, e, \ldots, e) \in S_0\)，从而 \(|S_0| \neq 0\)

由引理 12.8.1 知 \(0 \equiv |S| \equiv |S_0| \pmod{p}\)

由于 \(|S_0| \neq 0\)，从而 \(S_0\) 中至少存在 \(p\) 个元素，即存在 \(a \neq e\)，使得 \((a, a, \ldots, a) \in S_0\)

于是 \(a^p = e\)

由于 \(p\) 为素数，从而 \(|a| = p\)

一个群如果每个元素的阶均是某个固定素数 \(p\) 之幂（\(\geq 0\)），则此群叫作 \(p\)-群

如果 \(H\) 是群 \(G\) 的子群并且 \(H\) 是 \(p\)-群，则 \(H\) 叫作 \(G\) 的 \(p\)-子群

特别地，对于每个素数 \(p\)，\(|\langle e \rangle| = 1 = p^0\)，从而 \(\langle e \rangle\) 是 \(G\) 的 \(p\)-子群

推论 12.8.3

有限群 \(G\) 是 \(p\)-群 \(\Leftrightarrow\) \(|G|\) 为 \(p\) 之幂

推论 12.8.4

非平凡有限 \(p\)-群 \(G\) 的中心 \(C(G)\) 必包含多于一个元素

证明： 点击查看证明

考虑 \(G\) 的类方程（推论 12.7.4）：\(|G| = |C(G)| + \sum_{i=1}^m [G : C_G(x_i)]\)。由于每个 \([G : C_G(x_i)] > 1\)，并且除尽 \(|G| = p^n\)（\(n \geq 1\)），从而 \(p\) 除尽每个 \([G : C_G(x_i)]\) 和 \(|G|\)，因此 \(p\) 除尽 \(|C(G)|\)

由于 \(|C(G)| \geq 1\)，因此 \(C(G)\) 至少有 \(p\) 个元素。

定理 12.8.5 Sylow 第一定理

设 \(G\) 是 \(p^n m\) 阶群，其中 \(n \geq 1\)，\(p\) 为素数，并且 \((p, m) = 1\)

则对每个 \(1 \leq i \leq n\)，\(G\) 均包含 \(p^i\) 阶子群，并且 \(G\) 的每个 \(p^i\)（\(i < n\)）阶子群均是某个 \(p^{i+1}\) 阶子群的正规子群

证明思路： 点击查看证明

由于 \(p \mid |G|\)，由 Cauchy 定理知它包含一个 \(p\) 阶元素 \(a\)，从而包含 \(p\) 阶子群 \(\langle a \rangle\)

现在归纳假设 \(H\) 是 \(G\) 的 \(p^i\) 阶子群（\(1 \leq i < n\)）

则 \(p \mid [G : H]\)，并且由引理 12.8.1 和推论（设 \(H\) 由左平移作用于 \(H\) 在 \(G\) 中全体左陪集所组成的集合 \(S\) 上）

可知 \([N_G(H) : H] \equiv [G : H] \equiv 0 \pmod{p}\)，故 \(H\) 在 \(N_G(H)\) 中正规，\(H \neq N_G(H)\)，并且 \(1 < |N_G(H)/H|\) 是 \(p\) 的倍数

从而 \(N_G(H)/H\) 包含一个 \(p\) 阶子群，根据对应定理，这个子群有形式 \(H_1/H\)，其中 \(H_1\) 为 \(N_G(H)\) 的子群并且 \(H_1\) 包含 \(H\)

由于 \(H \trianglelefteq N_G(H)\)，从而 \(H \trianglelefteq H_1\)，最后 \(|H_1| = |H| \cdot |H_1/H| = p^i \cdot p = p^{i+1}\)

群 \(G\) 的子群 \(p\) 叫作 Sylow \(p\)-子群（\(p\) 是素数），是指 \(p\) 是 \(G\) 的最大 \(p\)-子群（即若 \(P < H \leq G\)，并且 \(H\) 为 \(p\)-群，则 \(P = H\)）

Sylow \(p\)-子群永远存在，虽然它可能是平凡的

进而，每个 \(p\)-子群均包含在某个 Sylow \(p\)-子群中

定理 12.8.5 表明，对每个素数 \(p \mid |G|\)，有限群 \(G\) 必有非平凡的 Sylow \(p\)-子群

定理 12.8.6 Sylow 第二定理

如果 \(H\) 是有限群 \(G\) 的 \(p\)-子群，而 \(P\) 是 \(G\) 的任意一个 Sylow \(p\)-子群，则存在 \(x \in G\)，使得 \(H < xPx^{-1}\)。特别地，\(G\) 的两个 Sylow \(p\)-子群是彼此共轭的。

证明： 点击查看证明

设 \(S\) 是 \(p\) 在 \(G\) 中的全体左陪集所组成的集合，而 \(H\) 在 \(S\) 上的作用是（左）平移

由引理 12.8.1，\(|S_0| \equiv |S| = [G : P] \pmod{p}\)

但是 \(p \nmid [G : P]\)，因此 \(|S_0| \neq 0\)，从而存在 \(xP \in S_0\)

但是

\[xP \in S_0 \Leftrightarrow hxP = xP\ (\text{对所有 } h \in H) \Leftrightarrow x^{-1}hxP = P\ (\text{对所有 } h \in H) \Leftrightarrow x^{-1}Hx < P \Leftrightarrow H < xPx^{-1}.\]

如果 \(H\) 是 Sylow \(p\)-子群，则 \(|H| = |P| = |xPx^{-1}|\)，因此 \(H = xPx^{-1}\)

定理 12.8.7 Sylow 第三定理

如果 \(G\) 是有限群而 \(p\) 是素数，则 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群的个数是 \(|G|\) 的因子，并且具有形式 \(kp + 1\)（对于某个 \(k \geq 0\)）

证明： 点击查看证明

根据 Sylow 第二定理，Sylow \(p\)-子群的个数是它们之中任一个（设是 \(P\)）的共轭子群个数

但是这个数是 \([G : N_G(P)]\)，从而为 \(|G|\) 的因子（推论 12.7.4）

令 \(S\) 为 \(G\) 的全体 Sylow \(p\)-子群所组成的集合，\(P\) 在 \(S\) 上的作用为共轭

则 \(Q \in S_0 \Leftrightarrow xQx^{-1} = Q\)（对所有 \(x \in P\)），而后一条件又等价于 \(P < N_G(Q)\)

由于 \(P\) 和 \(Q\) 均是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群，从而也是 \(N_G(Q)\) 的 Sylow \(p\)-子群，因此它们在 \(N_G(Q)\) 中共轭

但是 \(Q\) 在 \(N_G(Q)\) 中正规，从而只可能 \(Q = P\)。因此 \(S_0 = {P}\)，并且由引理 12.8.1，\(|S| \equiv |S_0| = 1 \pmod{p}\)，从而 \(|S| = kp + 1\)

推论 12.8.8

假设 \(G\) 是 \(p^n m\) 阶群，其中 \(p\) 为素数，\(n \geq 1\) 并且 \((m, p) = 1\)

令 \(H\) 是 \(G\) 的 \(p\)-子群，则

• （i）\(H\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群 \(\Leftrightarrow\) \(|H| = p^n\)；
• （ii）Sylow \(p\)-子群的每个共轭也是 Sylow \(p\)-子群；
• （iii）如果只有一个 Sylow \(p\)-子群 \(P\)，则 \(P \trianglelefteq G\)。

定义 12.9 有限群的分类

对于全部 \(pq\) 阶群（\(p\) 和 \(q\) 均是素数）和全部小阶数群（\(n \leq 15\)）作同构分类。当然，这些都不是非常深刻的结果

但是即使是为此所作的努力也将表明要决定任意（有限）群的结构是多么困难

定理 12.9.1

假设 \(p\) 和 \(q\) 均是素数，\(p > q\)

如果 \(q \nmid p - 1\)，则每个 \(pq\) 阶群均同构于循环群 \(\mathbb{Z}*{pq}\)

如果 \(q \mid p - 1\)，则不计同构恰好有两个不同的 \(pq\) 阶群：

循环群 \(\mathbb{Z}*{pq}\) 和非 Abel 群 \(K\)，其中 \(K\) 是由元素 \(c\) 和 \(d\) 生成的，并且

$\(|c| = p, \quad |d| = q, \quad dc = c^s d,\)

其中 \(s \not\equiv 1 \pmod{p}\)，\(s^q \equiv 1 \pmod{p}\)

证明思路： 点击查看证明

给了一个 \(pq\) 阶群 \(G\)，由 Cauchy 定理知 \(G\) 包含元素 \(a\) 和 \(b\)，\(|a| = p\)，\(|b| = q\)

此外，\(S = \langle a \rangle\) 在 \(G\) 中正规（由推论 12.7.10，或者象下面那样通过计算 Sylow \(p\)-子群）

Sylow \(q\)-子群的个数是 \(kq + 1\) 并且它除尽 \(pq\)，因此它必然为 \(1\) 或者 \(p\)。如果它是 \(1\)（当 \(q \nmid p-1\) 时必然如此），则 \(\langle b \rangle\) 也在 \(G\) 中正规

由 Lagrange 定理知 \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \langle e \rangle\)

因此由定理 11.8.2 (4) 可知 \(G = \langle a \rangle \times \langle b \rangle \cong \mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}*q \cong \mathbb{Z}*{pq}\)

如果它是 \(p\)（这只可能在 \(p \mid q - 1\) 的时候），则 \(bab^{-1} = a^r\)

归纳地可以推出 \(b^i ab^{-i} = a^{r^i}\)，特别取 \(i = q\)，得出 \(a = a^{r^q}\)，由定理 I.3.4(v) 这导致 \(r^q \equiv 1 \pmod{p}\)

推论 12.9.2

如果 \(p\) 是奇素数，则每个 \(2p\) 阶群或者同构于循环群 \(\mathbb{Z}_{2p}\)，或者同构于正多边形群 \(D_p\)

定理 12.9.3

（不计同构）恰好存在两个不同的 8 阶非 Abel 群：四元数群 \(Q_8\) 和正多边形群 \(D_4\)。

定理 12.9.4

（不计同构）共存在恰好三个不同的 12 阶非 Abel 群：正多边形群 \(D_6\)，交错群 \(A_4\)，以及由 \(a, b\) 生成的群 \(T\)，其中 \(|a| = 6\)，\(b^2 = a^3\)，\(ba = a^{-1}b\)

下表列出小阶群的全部同构类，共有 14 个不同的 16 阶群和 51 个不同的 32 阶群，目前没有一个公式能够对于每个 \(n\) 给出 \(n\) 阶群的个数

阶数	群
1	\(\langle e \rangle\)
2	\(\mathbb{Z}_2\)
3	\(\mathbb{Z}_3\)
4	\(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2\)，\(\mathbb{Z}_4\)
5	\(\mathbb{Z}_5\)
6	\(\mathbb{Z}_6\)，\(D_3\)
7	\(\mathbb{Z}_7\)
8	\(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2\)，\(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4\)，\(\mathbb{Z}_8\)，\(Q_8\)，\(D_4\)
9	\(\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3\)，\(\mathbb{Z}_9\)
10	\(\mathbb{Z}_{10}\)，\(D_5\)
11	\(\mathbb{Z}_{11}\)
12	\(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_6\)，\(\mathbb{Z}_{12}\)，\(A_4\)，\(D_6\)，\(T\)
13	\(\mathbb{Z}_{13}\)
14	\(\mathbb{Z}_{14}\)，\(D_7\)
15	\(\mathbb{Z}_{15}\)

定义 12.10 幂零群与可解群

考虑关于有限群 \(G\) 的如下一些条件：

• （i）\(G\) 是它的 Sylow 子群的直积
• （ii）如果 \(m \mid |G|\)，则 \(G\) 有 \(m\) 阶子群
• （iii）如果 \(|G| = mn\)，\((m, n) = 1\)，则 \(G\) 有 \(m\) 阶子群

条件 (ii) 和 (iii) 可以考虑作 Sylow 第一定理的变型，不难证明 (i) \(\Rightarrow\) (ii)

而 (ii) \(\Rightarrow\) (iii) 是显然成立的

从定理 12.5.2 容易推出，每个有限 Abel 群满足 (i)

每个 \(p\)-群显然也满足 (i)

我们首先用某个子群”正规列”来定义幂零群和可解群

对于有限群的情形，幂零群可以用条件 (i) 来刻划（命题 12.10.5），而可解群可以用条件 (iii) 来刻划（命题 12.10.14）

定义 12.10.1 幂零群

设 \(G\) 是群，\(C(G)\) 是正规子群（推论 12.7.7）

令 \(C_2(G)\) 是 \(C(G/C(G))\) 在正则射影 \(G \to G/C(G)\) 之下的原象，则由定理 I.5.11（的证明）可知 \(C_2(G)\) 在 \(G\) 中正规并且包含 \(C(G)\)

继续这个过程我们归纳地定义：\(C_1(G) = C(G)\)，而 \(C_i(G)\) 是 \(C(G/C_{i-1}(G))\) 在正则射影 \(G \to G/C_{i-1}(G)\) 之下的原象，因此我们得到 \(G\) 的一个正规子群列，叫作 \(G\) 的中心升链： \[ \langle e \rangle < C_1(G) < C_2(G) < \cdots \]

群 \(G\) 叫作幂零的（nilpotent），是指存在某个 \(n\)，使得 \(C_n(G) = G\)

每个 Abel 群都是幂零的，因为 \(G = C(G) = C_1(G)\)

定理 12.10.2

每个有限 \(p\)-群都是幂零的

证明： 点击查看证明

\(G\) 和它的所有非平凡商群都是 \(p\)-群，因此由推论 12.8.4 知它们均有非平凡的中心

由此推出，如果 \(G \neq C_i(G)\)，则 \(C_i(G)\) 严格包含在 \(C_{i+1}(G)\) 中

由于 \(G\) 是有限群，必然对某个 \(n\)，使得 \(C_n(G)\) 等于 \(G\)

定理 12.10.3

有限多个幂零群的直积也是幂零的

引理 12.10.4

如果 \(H\) 是幂零群 \(G\) 的真子群，则 \(H\) 是它的正规化子 \(N_G(H)\) 的真子群

命题 12.10.5

一个有限群是幂零的，当且仅当它是它的 Sylow 子群的直积

证明思路： 点击查看证明

如果 \(G\) 是它的 Sylow 子群的直积，由定理 12.10.2 和 12.10.3 知 \(G\) 是幂零的

如果 \(G\) 是幂零的，而 \(P\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群（对于某个素数 \(p\)），则或者 \(P = G\)（此时便证毕），或者 \(P\) 是 \(G\) 的真子群

对于后一情形，由引理 12.10.4 知 \(P\) 是 \(N_G(P)\) 的真子群

由定理 12.8.7（Sylow 第三定理），\(N_G(P)\) 是 \(P\) 自己的正规化子

从而由引理 12.10.4 知必须 \(N_G(P) = G\)，因此 \(P \trianglelefteq G\)，于是由定理 12.8.8 知 \(P\) 是 \(G\) 中唯一的 Sylow \(p\)-子群

令 \(|G| = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}\)（\(p_i\) 为两两不同的素数，\(n_i > 0\)）

又令 \(P_1, P_2, \ldots, P_k\) 是 \(G\) 中对应的（真正规）Sylow 子群

由于 \(|P_i| = p_i^{n_i}\)（对每个 \(i\)），\(P_i \cap P_j = \langle e \rangle\)（对 \(i \neq j\)）

根据定理 I.5.3 可知对于每个 \(x \in P_i\)，\(y \in P_j\)（\(i \neq j\)），\(xy = yx\)

从而对于每个 \(i\)，\(P_1 P_2 \cdots P_{i-1} P_{i+1} \cdots P_k\) 是子群，并且其中每个元素的阶数均是 \(p_1^{n_1} \cdots p_{i-1}^{n_{i-1}} p_{i+1}^{n_{i+1}} \cdots p_k^{n_k}\) 的因子

从而 \(P_i \cap (P_1 \cdots P_{i-1} P_{i+1} \cdots P_k) = \langle e \rangle\)

于是 \(P_1 P_2 \cdots P_k = P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_k\)

由于 \(|G| = p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k} = |P_1 \times \cdots \times P_k|\)

从而必然 \(G = P_1 P_2 \cdots P_k = P_1 \times \cdots \times P_k\)。

推论 12.10.6

如果 \(G\) 是有限幂零群而 \(m \mid |G|\)，则 \(G\) 有 \(m\) 阶子群

定义 12.10.7 换位子群与可解群

设 \(G\) 是群，由集合 \({aba^{-1}b^{-1} \mid a, b \in G}\) 生成的 \(G\) 的子群叫作 \(G\) 的换位子群（commutator subgroup），并表示成 \(G'\)

元素 \(aba^{-1}b^{-1}\)（\(a, b \in G\)）叫作换位子

换位子只是生成 \(G'\)，因而 \(G'\) 可能会包含不是换位子的元素。\(G\) 是 Abel 群的充要条件是 \(G' = \langle e \rangle\)，所以在某种意义上，可用 \(G'\) 来衡量 \(G\) 与 Abel 群相距有多远

定理 12.10.8

如果 \(G\) 是群，则 \(G'\) 是 \(G\) 的正规子群并且 \(G/G'\) 是 Abel 群

如果 \(N\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(G/N\) 为 Abel 群 \(\Leftrightarrow\) \(N \supset G'\)。

令 \(G\) 是群，以 \(G^{(1)}\) 表示 \(G'\)，然后对于 \(i \geq 1\)，定义 \(G^{(i)} = (G^{(i-1)})'\)，称 \(G^{(i)}\) 为 \(G\) 的第 \(i\) 导出子群

这给出 \(G\) 的一个子群列，并且每个均是它前一个的正规子群：

\(G > G^{(1)} > G^{(2)} > \cdots\)，事实上，每个 \(G^{(i)}\) 均是 \(G\) 的正规子群

定义 12.10.9

群 \(G\) 叫作可解的（solvable），是指存在某个 \(n\)，使得 \(G^{(n)} = \langle e \rangle\)。

每个 Abel 群显然是可解的。更一般地我们有

命题 12.10.10

每个幂零群均可解

定理 12.10.11

• （i）可解群的每个子群和同态象都是可解的
• （ii）如果 \(N\) 是群 \(G\) 的正规子群，并且 \(N\) 和 \(G/N\) 均可解，则 \(G\) 也可解

证明思路： 点击查看证明

（i）如果 \(f: G \to H\) 是同态（满同态），验证 \(f(G^{(i)}) \leq H^{(i)}\)（\(f(G^{(i)}) = H^{(i)}\)）（对于每个 \(i\)）

假设 \(f\) 是满同态，并且 \(G\) 是可解的，则存在某个 \(n\)，使得 \(\langle e \rangle = f(e) = f(G^{(n)}) = H^{(n)}\)，从而 \(H\) 是可解的

对于子群情形，其证明是类似的

（ii）设 \(f: G \to G/N\) 是正则满同态

由于 \(G/N\) 是可解的，从而存在某个 \(n\)，使得 \(f(G^{(n)}) = (G/N)^{(n)} = \langle e \rangle\)

于是 \(G^{(n)} \leq \mathrm{Ker}, f = N\)

又由 (i) 知 \(G^{(n)}\) 是可解的，从而存在 \(k \in \mathbb{N}^*\)，使得 \(G^{(n+k)} = (G^{(n)})^{(k)} = \langle e \rangle\)

即 \(G\) 是可解的

推论 12.10.12

\(n \geq 5\) 时，对称群 \(S_n\) 不可解

证明： 点击查看证明

如果 \(S_n\) 是可解的，则 \(A_n\) 也是可解的

由于 \(A_n\) 是非 Abel 群，从而 \(A_n' \neq {e}\)

但是 \(A_n'\) 在 \(A_n\) 中正规（定理 12.10.8），而 \(A_n\) 是单群

从而必然 \(A_n' = A_n\)

因此对所有 \(i \geq 1\)，\(A_n^{(i)} = A_n \neq {e}\)，即 \(A_n\) 不可解，矛盾。

命题 12.10.13（P. Hall）

令 \(G\) 为 \(mn\) 阶有限可解群，\((m, n) = 1\)，则

• （i）\(G\) 包含 \(m\) 阶子群
• （ii）\(G\) 的任意两个 \(m\) 阶子群都是彼此共轭的
• （iii）如果 \(k \mid m\)，则 \(G\) 的每个 \(k\) 阶子群都包含在某个 \(m\) 阶子群之中

注记：如果 \(m\) 是素数幂，则这个定理不过是 Sylow 诸定理中某些结果的重述

P. Hall 还证明了 (i) 的逆命题：如果 \(G\) 是有限群，并且当 \(|G| = mn\)，\((m, n) = 1\) 时，\(G\) 便有 \(m\) 阶子群，则 \(G\) 是可解的

命题 12.10.14

一个有限群是可解的 \(\Leftrightarrow\) \(G\) 有组成列，并且其因子均为素数阶循环群

证明思路： 点击查看证明

具有循环因子的（组成）列显然是可解列

反之，假设 \(G = G_0 > G_1 > \cdots > G_n = \langle e \rangle\) 是 \(G\) 的可解列

如果 \(G_0 \neq G_1\)，令 \(H_1\) 为 \(G = G_0\) 中包含 \(G_1\) 的极大正规子群，如果 \(H_1 \neq G_1\)，再令 \(H_2\) 为 \(H_1\) 中包含 \(G_1\) 的极大正规子群，如此等等

由于 \(G\) 有限，便给出序列 \(G > H_1 > H_2 > \cdots > H_k > G_1\)，其中每个子群都是其前一个群的极大正规子群，从而每个因子都是单群

对于每一对 \((G_i, G_{i+1})\) 都如此作，根据定理 12.4（可解列的每个加细均是可解列）给出原序列的可解加细 \(G = N_0 > N_1 > \cdots > N_r = \langle e \rangle\)，序列中每个因子都是 Abel 单群，从而是素数阶循环群

因此 \(G > N_1 > \cdots > N_r = \langle e \rangle\) 是组成列。